Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47131 / 55243
↖ ↑ ↗
← N 27.188685°
W 50.550842°		 ← 271.68 m → N 27.188685°
W 50.548096°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 27.186242°
W 50.550842°		 ← 271.68 m →
73 805 m²		 N 27.186242°
W 50.548096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359584808349609 y=0.421474456787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359584808349609 × 217)
    floor (0.359584808349609 × 131072)
    floor (47131.5)     		tx = 47131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421474456787109 × 217)
    floor (0.421474456787109 × 131072)
    floor (55243.5)     		ty = 55243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47131 / 55243 ti = "17/47131/55243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47131/55243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47131 ÷ 217
    47131 ÷ 131072     		x = 0.359580993652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55243 ÷ 217
    55243 ÷ 131072     		y = 0.421470642089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359580993652344 × 2 - 1) × π
    -0.280838012695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.88227864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421470642089844 × 2 - 1) × π
    0.157058715820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.493414507789238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88227864} λ = -0.88227864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493414507789238))-π/2
    2×atan(1.63789930271834)-π/2
    2×1.02266420241124-π/2
    2.04532840482248-1.57079632675     		φ = 0.47453208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88227864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.550842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47453208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.188685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47131 KachelY 55243 -0.88227864 0.47453208 -50.550842 27.188685
    Oben rechts KachelX + 1 47132 KachelY 55243 -0.88223070 0.47453208 -50.548096 27.188685
    Unten links KachelX 47131 KachelY + 1 55244 -0.88227864 0.47448944 -50.550842 27.186242
    Unten rechts KachelX + 1 47132 KachelY + 1 55244 -0.88223070 0.47448944 -50.548096 27.186242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47453208-0.47448944) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dl = 271.659440000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47453208-0.47448944) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dr = 271.659440000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88227864--0.88223070) × cos(0.47453208) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889506622066633 × 6371000     		do = 271.678218279423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88227864--0.88223070) × cos(0.47448944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889526104423978 × 6371000     		du = 271.684168692833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47453208)-sin(0.47448944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889506622066633-0.889526104423978)×R²
    abs(-0.88223070--0.88227864)×1.94823573456127e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94823573456127e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94823573456127e-05×40589641000000     		ar = 73804.7608922603m²