Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4713 / 3477
↖ ↑ ↗
← N 26.234302°
E 27.114258°		 ← 4 383.15 m → N 26.234302°
E 27.158203°		 →
↑
4 383.89 m
↓
↑
4 383.89 m
↓
N 26.194877°
E 27.114258°		 ← 4 384.64 m →
19 218 503 m²		 N 26.194877°
E 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57537841796875 y=0.42449951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57537841796875 × 213)
    floor (0.57537841796875 × 8192)
    floor (4713.5)     		tx = 4713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42449951171875 × 213)
    floor (0.42449951171875 × 8192)
    floor (3477.5)     		ty = 3477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4713 / 3477 ti = "13/4713/3477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4713/3477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4713 ÷ 213
    4713 ÷ 8192     		x = 0.5753173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3477 ÷ 213
    3477 ÷ 8192     		y = 0.4244384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5753173828125 × 2 - 1) × π
    0.150634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.47323307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4244384765625 × 2 - 1) × π
    0.151123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.474767053837036
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47323307} λ = 0.47323307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.474767053837036))-π/2
    2×atan(1.60763966037367)-π/2
    2×1.01433563710543-π/2
    2.02867127421086-1.57079632675     		φ = 0.45787495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47323307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.114258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45787495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.234302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4713 KachelY 3477 0.47323307 0.45787495 27.114258 26.234302
    Oben rechts KachelX + 1 4714 KachelY 3477 0.47400006 0.45787495 27.158203 26.234302
    Unten links KachelX 4713 KachelY + 1 3478 0.47323307 0.45718685 27.114258 26.194877
    Unten rechts KachelX + 1 4714 KachelY + 1 3478 0.47400006 0.45718685 27.158203 26.194877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45787495-0.45718685) × R
    0.000688100000000025 × 6371000     		dl = 4383.88510000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45787495-0.45718685) × R
    0.000688100000000025 × 6371000     		dr = 4383.88510000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47323307-0.47400006) × cos(0.45787495) × R
    0.000766990000000023 × 0.896993885527208 × 6371000     		do = 4383.15460279986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47323307-0.47400006) × cos(0.45718685) × R
    0.000766990000000023 × 0.897297842901807 × 6371000     		du = 4384.63988847128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45787495)-sin(0.45718685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896993885527208-0.897297842901807)×R²
    abs(0.47400006-0.47323307)×0.000303957374598318×R²
    0.000766990000000023×0.000303957374598318×6371000²
    0.000766990000000023×0.000303957374598318×40589641000000     		ar = 19218502.5733735m²