Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47123 / 55172
↖ ↑ ↗
← N 27.362010°
W 50.572815°		 ← 271.20 m → N 27.362010°
W 50.570069°		 →
↑
271.21 m
↓
↑
271.21 m
↓
N 27.359571°
W 50.572815°		 ← 271.20 m →
73 553 m²		 N 27.359571°
W 50.570069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359523773193359 y=0.420932769775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359523773193359 × 217)
    floor (0.359523773193359 × 131072)
    floor (47123.5)     		tx = 47123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420932769775391 × 217)
    floor (0.420932769775391 × 131072)
    floor (55172.5)     		ty = 55172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47123 / 55172 ti = "17/47123/55172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47123/55172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47123 ÷ 217
    47123 ÷ 131072     		x = 0.359519958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55172 ÷ 217
    55172 ÷ 131072     		y = 0.420928955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359519958496094 × 2 - 1) × π
    -0.280960083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.88266213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420928955078125 × 2 - 1) × π
    0.15814208984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.496818027662262
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88266213} λ = -0.88266213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496818027662262))-π/2
    2×atan(1.6434834229868)-π/2
    2×1.02417675041597-π/2
    2.04835350083195-1.57079632675     		φ = 0.47755717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88266213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.572815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47755717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.362010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47123 KachelY 55172 -0.88266213 0.47755717 -50.572815 27.362010
    Oben rechts KachelX + 1 47124 KachelY 55172 -0.88261420 0.47755717 -50.570069 27.362010
    Unten links KachelX 47123 KachelY + 1 55173 -0.88266213 0.47751460 -50.572815 27.359571
    Unten rechts KachelX + 1 47124 KachelY + 1 55173 -0.88261420 0.47751460 -50.570069 27.359571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47755717-0.47751460) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dl = 271.213469999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47755717-0.47751460) × R
    4.2569999999964e-05 × 6371000     		dr = 271.213469999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88266213--0.88261420) × cos(0.47755717) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888120323147151 × 6371000     		do = 271.198224760636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88266213--0.88261420) × cos(0.47751460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888139887983627 × 6371000     		du = 271.204199118819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47755717)-sin(0.47751460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888120323147151-0.888139887983627)×R²
    abs(-0.88261420--0.88266213)×1.9564836475805e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.9564836475805e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.9564836475805e-05×40589641000000     		ar = 73553.4217693694m²