Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47122 / 55663
↖ ↑ ↗
← N 26.157903°
W 50.575562°		 ← 274.14 m → N 26.157903°
W 50.572815°		 →
↑
274.14 m
↓
↑
274.14 m
↓
N 26.155438°
W 50.575562°		 ← 274.15 m →
75 156 m²		 N 26.155438°
W 50.572815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359516143798828 y=0.424678802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359516143798828 × 217)
    floor (0.359516143798828 × 131072)
    floor (47122.5)     		tx = 47122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424678802490234 × 217)
    floor (0.424678802490234 × 131072)
    floor (55663.5)     		ty = 55663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47122 / 55663 ti = "17/47122/55663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47122/55663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47122 ÷ 217
    47122 ÷ 131072     		x = 0.359512329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55663 ÷ 217
    55663 ÷ 131072     		y = 0.424674987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359512329101562 × 2 - 1) × π
    -0.280975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88271007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424674987792969 × 2 - 1) × π
    0.150650024414062 × 3.1415926535     		Φ = 0.473281009948814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88271007} λ = -0.88271007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473281009948814))-π/2
    2×atan(1.60525241149953)-π/2
    2×1.01366893220771-π/2
    2.02733786441543-1.57079632675     		φ = 0.45654154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88271007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45654154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.157903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47122 KachelY 55663 -0.88271007 0.45654154 -50.575562 26.157903
    Oben rechts KachelX + 1 47123 KachelY 55663 -0.88266213 0.45654154 -50.572815 26.157903
    Unten links KachelX 47122 KachelY + 1 55664 -0.88271007 0.45649851 -50.575562 26.155438
    Unten rechts KachelX + 1 47123 KachelY + 1 55664 -0.88266213 0.45649851 -50.572815 26.155438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45654154-0.45649851) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dl = 274.144129999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45654154-0.45649851) × R
    4.30299999999995e-05 × 6371000     		dr = 274.144129999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88271007--0.88266213) × cos(0.45654154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.897582512422549 × 6371000     		do = 274.144803067536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88271007--0.88266213) × cos(0.45649851) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89760148121631 × 6371000     		du = 274.150596625408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45654154)-sin(0.45649851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897582512422549-0.89760148121631)×R²
    abs(-0.88266213--0.88271007)×1.8968793761176e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8968793761176e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8968793761176e-05×40589641000000     		ar = 75155.9826774868m²