Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47122 / 55180
↖ ↑ ↗
← N 27.342494°
W 50.575562°		 ← 271.30 m → N 27.342494°
W 50.572815°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.340055°
W 50.575562°		 ← 271.31 m →
73 599 m²		 N 27.340055°
W 50.572815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359516143798828 y=0.420993804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359516143798828 × 217)
    floor (0.359516143798828 × 131072)
    floor (47122.5)     		tx = 47122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420993804931641 × 217)
    floor (0.420993804931641 × 131072)
    floor (55180.5)     		ty = 55180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47122 / 55180 ti = "17/47122/55180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47122/55180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47122 ÷ 217
    47122 ÷ 131072     		x = 0.359512329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55180 ÷ 217
    55180 ÷ 131072     		y = 0.420989990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359512329101562 × 2 - 1) × π
    -0.280975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88271007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420989990234375 × 2 - 1) × π
    0.15802001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.496434532465302
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88271007} λ = -0.88271007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496434532465302))-π/2
    2×atan(1.64285327582473)-π/2
    2×1.02400644047164-π/2
    2.04801288094328-1.57079632675     		φ = 0.47721655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88271007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.575562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47721655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.342494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47122 KachelY 55180 -0.88271007 0.47721655 -50.575562 27.342494
    Oben rechts KachelX + 1 47123 KachelY 55180 -0.88266213 0.47721655 -50.572815 27.342494
    Unten links KachelX 47122 KachelY + 1 55181 -0.88271007 0.47717397 -50.575562 27.340055
    Unten rechts KachelX + 1 47123 KachelY + 1 55181 -0.88266213 0.47717397 -50.572815 27.340055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47721655-0.47717397) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47721655-0.47717397) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88271007--0.88266213) × cos(0.47721655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888276824329722 × 6371000     		do = 271.302606395577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88271007--0.88266213) × cos(0.47717397) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888296380879712 × 6371000     		du = 271.30857946933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47721655)-sin(0.47717397))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888276824329722-0.888296380879712)×R²
    abs(-0.88266213--0.88271007)×1.955654998953e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.955654998953e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.955654998953e-05×40589641000000     		ar = 73599.0161801677m²