Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47115 / 55246
↖ ↑ ↗
← N 27.181356°
W 50.594788°		 ← 271.70 m → N 27.181356°
W 50.592041°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 27.178912°
W 50.594788°		 ← 271.70 m →
73 810 m²		 N 27.178912°
W 50.592041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359462738037109 y=0.421497344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359462738037109 × 217)
    floor (0.359462738037109 × 131072)
    floor (47115.5)     		tx = 47115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421497344970703 × 217)
    floor (0.421497344970703 × 131072)
    floor (55246.5)     		ty = 55246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47115 / 55246 ti = "17/47115/55246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47115/55246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47115 ÷ 217
    47115 ÷ 131072     		x = 0.359458923339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55246 ÷ 217
    55246 ÷ 131072     		y = 0.421493530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359458923339844 × 2 - 1) × π
    -0.281082153320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.88304563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421493530273438 × 2 - 1) × π
    0.157012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.493270697090378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88304563} λ = -0.88304563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493270697090378))-π/2
    2×atan(1.63766377221126)-π/2
    2×1.0226002400254-π/2
    2.04520048005079-1.57079632675     		φ = 0.47440415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88304563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.594788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47440415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.181356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47115 KachelY 55246 -0.88304563 0.47440415 -50.594788 27.181356
    Oben rechts KachelX + 1 47116 KachelY 55246 -0.88299769 0.47440415 -50.592041 27.181356
    Unten links KachelX 47115 KachelY + 1 55247 -0.88304563 0.47436151 -50.594788 27.178912
    Unten rechts KachelX + 1 47116 KachelY + 1 55247 -0.88299769 0.47436151 -50.592041 27.178912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47440415-0.47436151) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dl = 271.659440000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47440415-0.47436151) × R
    4.26400000000382e-05 × 6371000     		dr = 271.659440000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88304563--0.88299769) × cos(0.47440415) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889565068854791 × 6371000     		do = 271.696069433576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88304563--0.88299769) × cos(0.47436151) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889584546359723 × 6371000     		du = 271.702018364934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47440415)-sin(0.47436151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889565068854791-0.889584546359723)×R²
    abs(-0.88299769--0.88304563)×1.94775049320306e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94775049320306e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94775049320306e-05×40589641000000     		ar = 73809.6101254138m²