Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47111 / 55259
↖ ↑ ↗
← N 27.149589°
W 50.605774°		 ← 271.77 m → N 27.149589°
W 50.603027°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
N 27.147145°
W 50.605774°		 ← 271.78 m →
73 865 m²		 N 27.147145°
W 50.603027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359432220458984 y=0.421596527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359432220458984 × 217)
    floor (0.359432220458984 × 131072)
    floor (47111.5)     		tx = 47111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421596527099609 × 217)
    floor (0.421596527099609 × 131072)
    floor (55259.5)     		ty = 55259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47111 / 55259 ti = "17/47111/55259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47111/55259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47111 ÷ 217
    47111 ÷ 131072     		x = 0.359428405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55259 ÷ 217
    55259 ÷ 131072     		y = 0.421592712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359428405761719 × 2 - 1) × π
    -0.281143188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.88323738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421592712402344 × 2 - 1) × π
    0.156814575195312 × 3.1415926535     		Φ = 0.492647517395317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88323738} λ = -0.88323738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492647517395317))-π/2
    2×atan(1.6366435313308)-π/2
    2×1.02232302113929-π/2
    2.04464604227857-1.57079632675     		φ = 0.47384972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88323738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.605774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47384972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.149589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47111 KachelY 55259 -0.88323738 0.47384972 -50.605774 27.149589
    Oben rechts KachelX + 1 47112 KachelY 55259 -0.88318944 0.47384972 -50.603027 27.149589
    Unten links KachelX 47111 KachelY + 1 55260 -0.88323738 0.47380706 -50.605774 27.147145
    Unten rechts KachelX + 1 47112 KachelY + 1 55260 -0.88318944 0.47380706 -50.603027 27.147145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47384972-0.47380706) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dl = 271.786859999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47384972-0.47380706) × R
    4.26599999999722e-05 × 6371000     		dr = 271.786859999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88323738--0.88318944) × cos(0.47384972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889818200445044 × 6371000     		do = 271.773382336218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88323738--0.88318944) × cos(0.47380706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889837666042184 × 6371000     		du = 271.779327630629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47384972)-sin(0.47380706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889818200445044-0.889837666042184)×R²
    abs(-0.88318944--0.88323738)×1.94655971398339e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94655971398339e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94655971398339e-05×40589641000000     		ar = 73865.2421543528m²