Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4711 / 3424
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
E 27.026367°		 ← 4 302.27 m → N 28.304381°
E 27.070312°		 →
↑
4 303.10 m
↓
↑
4 303.10 m
↓
N 28.265682°
E 27.026367°		 ← 4 303.83 m →
18 516 465 m²		 N 28.265682°
E 27.070312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57513427734375 y=0.41802978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57513427734375 × 213)
    floor (0.57513427734375 × 8192)
    floor (4711.5)     		tx = 4711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41802978515625 × 213)
    floor (0.41802978515625 × 8192)
    floor (3424.5)     		ty = 3424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4711 / 3424 ti = "13/4711/3424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4711/3424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4711 ÷ 213
    4711 ÷ 8192     		x = 0.5750732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3424 ÷ 213
    3424 ÷ 8192     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5750732421875 × 2 - 1) × π
    0.150146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47169909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47169909} λ = 0.47169909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47169909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 27.026367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4711 KachelY 3424 0.47169909 0.49400464 27.026367 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 4712 KachelY 3424 0.47246608 0.49400464 27.070312 28.304381
    Unten links KachelX 4711 KachelY + 1 3425 0.47169909 0.49332922 27.026367 28.265682
    Unten rechts KachelX + 1 4712 KachelY + 1 3425 0.47246608 0.49332922 27.070312 28.265682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.49332922) × R
    0.000675419999999982 × 6371000     		dl = 4303.10081999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.49332922) × R
    0.000675419999999982 × 6371000     		dr = 4303.10081999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47169909-0.47246608) × cos(0.49400464) × R
    0.000766990000000023 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 4302.26953399592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47169909-0.47246608) × cos(0.49332922) × R
    0.000766990000000023 × 0.880761154630661 × 6371000     		du = 4303.83347219551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.49332922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.880761154630661)×R²
    abs(0.47246608-0.47169909)×0.000320053278859311×R²
    0.000766990000000023×0.000320053278859311×6371000²
    0.000766990000000023×0.000320053278859311×40589641000000     		ar = 18516465.1553964m²