Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4711 / 2008
↖ ↑ ↗
← N 82.732092°
W128.243408°		 ← 154.55 m → N 82.732092°
W128.232422°		 →
↑
154.56 m
↓
↑
154.56 m
↓
N 82.730702°
W128.243408°		 ← 154.58 m →
23 889 m²		 N 82.730702°
W128.232422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143783569335938 y=0.0612945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143783569335938 × 215)
    floor (0.143783569335938 × 32768)
    floor (4711.5)     		tx = 4711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0612945556640625 × 215)
    floor (0.0612945556640625 × 32768)
    floor (2008.5)     		ty = 2008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4711 / 2008 ti = "15/4711/2008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4711/2008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4711 ÷ 215
    4711 ÷ 32768     		x = 0.143768310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2008 ÷ 215
    2008 ÷ 32768     		y = 0.061279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.143768310546875 × 2 - 1) × π
    -0.71246337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.23826972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.061279296875 × 2 - 1) × π
    0.87744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.75656347575171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23826972} λ = -2.23826972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.75656347575171))-π/2
    2×atan(15.7456395937643)-π/2
    2×1.50737186272205-π/2
    3.01474372544411-1.57079632675     		φ = 1.44394740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23826972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.243408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44394740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.732092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4711 KachelY 2008 -2.23826972 1.44394740 -128.243408 82.732092
    Oben rechts KachelX + 1 4712 KachelY 2008 -2.23807797 1.44394740 -128.232422 82.732092
    Unten links KachelX 4711 KachelY + 1 2009 -2.23826972 1.44392314 -128.243408 82.730702
    Unten rechts KachelX + 1 4712 KachelY + 1 2009 -2.23807797 1.44392314 -128.232422 82.730702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44394740-1.44392314) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dl = 154.560459999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44394740-1.44392314) × R
    2.42599999999982e-05 × 6371000     		dr = 154.560459999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23826972--2.23807797) × cos(1.44394740) × R
    0.000191749999999935 × 0.12650902009067 × 6371000     		do = 154.548384421749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23826972--2.23807797) × cos(1.44392314) × R
    0.000191749999999935 × 0.126533085135426 × 6371000     		du = 154.577783224975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44394740)-sin(1.44392314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.12650902009067-0.126533085135426)×R²
    abs(-2.23807797--2.23826972)×2.40650447556057e-05×R²
    0.000191749999999935×2.40650447556057e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.40650447556057e-05×40589641000000     		ar = 23889.3413353308m²