Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47107 / 55252
↖ ↑ ↗
← N 27.166695°
W 50.616760°		 ← 271.68 m → N 27.166695°
W 50.614014°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.164252°
W 50.616760°		 ← 271.68 m →
73 821 m²		 N 27.164252°
W 50.614014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359401702880859 y=0.421543121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359401702880859 × 217)
    floor (0.359401702880859 × 131072)
    floor (47107.5)     		tx = 47107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421543121337891 × 217)
    floor (0.421543121337891 × 131072)
    floor (55252.5)     		ty = 55252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47107 / 55252 ti = "17/47107/55252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47107/55252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47107 ÷ 217
    47107 ÷ 131072     		x = 0.359397888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55252 ÷ 217
    55252 ÷ 131072     		y = 0.421539306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359397888183594 × 2 - 1) × π
    -0.281204223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.88342912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421539306640625 × 2 - 1) × π
    0.15692138671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.492983075692657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88342912} λ = -0.88342912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492983075692657))-π/2
    2×atan(1.63719281280035)-π/2
    2×1.02247230264824-π/2
    2.04494460529649-1.57079632675     		φ = 0.47414828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88342912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.616760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47414828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.166695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47107 KachelY 55252 -0.88342912 0.47414828 -50.616760 27.166695
    Oben rechts KachelX + 1 47108 KachelY 55252 -0.88338119 0.47414828 -50.614014 27.166695
    Unten links KachelX 47107 KachelY + 1 55253 -0.88342912 0.47410563 -50.616760 27.164252
    Unten rechts KachelX + 1 47108 KachelY + 1 55253 -0.88338119 0.47410563 -50.614014 27.164252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47414828-0.47410563) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dl = 271.723149999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47414828-0.47410563) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dr = 271.723149999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88342912--0.88338119) × cos(0.47414828) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.889681923319867 × 6371000     		do = 271.675078158796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88342912--0.88338119) × cos(0.47410563) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.889701395684065 × 6371000     		du = 271.681024279456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47414828)-sin(0.47410563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889681923319867-0.889701395684065)×R²
    abs(-0.88338119--0.88342912)×1.9472364198414e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9472364198414e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9472364198414e-05×40589641000000     		ar = 73821.2158743503m²