Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47105 / 55231
↖ ↑ ↗
← N 27.217999°
W 50.622254°		 ← 271.61 m → N 27.217999°
W 50.619507°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.215556°
W 50.622254°		 ← 271.61 m →
73 768 m²		 N 27.215556°
W 50.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359386444091797 y=0.421382904052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359386444091797 × 217)
    floor (0.359386444091797 × 131072)
    floor (47105.5)     		tx = 47105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421382904052734 × 217)
    floor (0.421382904052734 × 131072)
    floor (55231.5)     		ty = 55231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47105 / 55231 ti = "17/47105/55231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47105/55231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47105 ÷ 217
    47105 ÷ 131072     		x = 0.359382629394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55231 ÷ 217
    55231 ÷ 131072     		y = 0.421379089355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359382629394531 × 2 - 1) × π
    -0.281234741210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.88352500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421379089355469 × 2 - 1) × π
    0.157241821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.493989750584679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88352500} λ = -0.88352500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493989750584679))-π/2
    2×atan(1.6388417635378)-π/2
    2×1.0229200099184-π/2
    2.0458400198368-1.57079632675     		φ = 0.47504369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88352500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.622254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47504369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.217999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47105 KachelY 55231 -0.88352500 0.47504369 -50.622254 27.217999
    Oben rechts KachelX + 1 47106 KachelY 55231 -0.88347706 0.47504369 -50.619507 27.217999
    Unten links KachelX 47105 KachelY + 1 55232 -0.88352500 0.47500106 -50.622254 27.215556
    Unten rechts KachelX + 1 47106 KachelY + 1 55232 -0.88347706 0.47500106 -50.619507 27.215556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47504369-0.47500106) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47504369-0.47500106) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88352500--0.88347706) × cos(0.47504369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889272739657669 × 6371000     		do = 271.606784571593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88352500--0.88347706) × cos(0.47500106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889292236843915 × 6371000     		du = 271.61273951413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47504369)-sin(0.47500106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889272739657669-0.889292236843915)×R²
    abs(-0.88347706--0.88352500)×1.94971862453874e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94971862453874e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94971862453874e-05×40589641000000     		ar = 73768.0516084683m²