Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47101 / 55257
↖ ↑ ↗
← N 27.154476°
W 50.633239°		 ← 271.70 m → N 27.154476°
W 50.630493°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.152033°
W 50.633239°		 ← 271.71 m →
73 829 m²		 N 27.152033°
W 50.630493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359355926513672 y=0.421581268310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359355926513672 × 217)
    floor (0.359355926513672 × 131072)
    floor (47101.5)     		tx = 47101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421581268310547 × 217)
    floor (0.421581268310547 × 131072)
    floor (55257.5)     		ty = 55257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47101 / 55257 ti = "17/47101/55257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47101/55257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47101 ÷ 217
    47101 ÷ 131072     		x = 0.359352111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55257 ÷ 217
    55257 ÷ 131072     		y = 0.421577453613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359352111816406 × 2 - 1) × π
    -0.281295776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.88371674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421577453613281 × 2 - 1) × π
    0.156845092773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.492743391194557
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88371674} λ = -0.88371674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492743391194557))-π/2
    2×atan(1.63680045008623)-π/2
    2×1.02236567533205-π/2
    2.0447313506641-1.57079632675     		φ = 0.47393502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88371674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.633239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47393502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.154476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47101 KachelY 55257 -0.88371674 0.47393502 -50.633239 27.154476
    Oben rechts KachelX + 1 47102 KachelY 55257 -0.88366881 0.47393502 -50.630493 27.154476
    Unten links KachelX 47101 KachelY + 1 55258 -0.88371674 0.47389237 -50.633239 27.152033
    Unten rechts KachelX + 1 47102 KachelY + 1 55258 -0.88366881 0.47389237 -50.630493 27.152033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47393502-0.47389237) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dl = 271.723149999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47393502-0.47389237) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dr = 271.723149999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88371674--0.88366881) × cos(0.47393502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889779273520547 × 6371000     		do = 271.704805214326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88371674--0.88366881) × cos(0.47389237) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889798737792078 × 6371000     		du = 271.710748863793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47393502)-sin(0.47389237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889779273520547-0.889798737792078)×R²
    abs(-0.88366881--0.88371674)×1.94642715305449e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94642715305449e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94642715305449e-05×40589641000000     		ar = 73829.2930676042m²