Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4710 / 3474
↖ ↑ ↗
← N 26.352498°
E 26.982422°		 ← 4 378.69 m → N 26.352498°
E 27.026367°		 →
↑
4 379.43 m
↓
↑
4 379.43 m
↓
N 26.313113°
E 26.982422°		 ← 4 380.18 m →
19 179 407 m²		 N 26.313113°
E 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57501220703125 y=0.42413330078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57501220703125 × 213)
    floor (0.57501220703125 × 8192)
    floor (4710.5)     		tx = 4710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42413330078125 × 213)
    floor (0.42413330078125 × 8192)
    floor (3474.5)     		ty = 3474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4710 / 3474 ti = "13/4710/3474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4710/3474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4710 ÷ 213
    4710 ÷ 8192     		x = 0.574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3474 ÷ 213
    3474 ÷ 8192     		y = 0.424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574951171875 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424072265625 × 2 - 1) × π
    0.15185546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.477068025018799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47093210} λ = 0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.477068025018799))-π/2
    2×atan(1.61134305196756)-π/2
    2×1.01536709026611-π/2
    2.03073418053222-1.57079632675     		φ = 0.45993785
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45993785 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.352498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4710 KachelY 3474 0.47093210 0.45993785 26.982422 26.352498
    Oben rechts KachelX + 1 4711 KachelY 3474 0.47169909 0.45993785 27.026367 26.352498
    Unten links KachelX 4710 KachelY + 1 3475 0.47093210 0.45925045 26.982422 26.313113
    Unten rechts KachelX + 1 4711 KachelY + 1 3475 0.47169909 0.45925045 27.026367 26.313113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45993785-0.45925045) × R
    0.000687400000000005 × 6371000     		dl = 4379.42540000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45993785-0.45925045) × R
    0.000687400000000005 × 6371000     		dr = 4379.42540000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47093210-0.47169909) × cos(0.45993785) × R
    0.000766989999999967 × 0.896080087169799 × 6371000     		do = 4378.68933325765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47093210-0.47169909) × cos(0.45925045) × R
    0.000766989999999967 × 0.896385007085516 × 6371000     		du = 4380.17932237979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45993785)-sin(0.45925045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896080087169799-0.896385007085516)×R²
    abs(0.47169909-0.47093210)×0.000304919915717017×R²
    0.000766989999999967×0.000304919915717017×6371000²
    0.000766989999999967×0.000304919915717017×40589641000000     		ar = 19179406.6881016m²