Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4710 / 3426
↖ ↑ ↗
← N 28.226970°
E 26.982422°		 ← 4 305.40 m → N 28.226970°
E 27.026367°		 →
↑
4 306.22 m
↓
↑
4 306.22 m
↓
N 28.188244°
E 26.982422°		 ← 4 306.96 m →
18 543 356 m²		 N 28.188244°
E 27.026367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57501220703125 y=0.41827392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57501220703125 × 213)
    floor (0.57501220703125 × 8192)
    floor (4710.5)     		tx = 4710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.41827392578125 × 213)
    floor (0.41827392578125 × 8192)
    floor (3426.5)     		ty = 3426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4710 / 3426 ti = "13/4710/3426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4710/3426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4710 ÷ 213
    4710 ÷ 8192     		x = 0.574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3426 ÷ 213
    3426 ÷ 8192     		y = 0.418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574951171875 × 2 - 1) × π
    0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    0.16357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.513883563927002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47093210} λ = 0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513883563927002))-π/2
    2×atan(1.67177103404912)-π/2
    2×1.03172494591144-π/2
    2.06344989182287-1.57079632675     		φ = 0.49265357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49265357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.226970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4710 KachelY 3426 0.47093210 0.49265357 26.982422 28.226970
    Oben rechts KachelX + 1 4711 KachelY 3426 0.47169909 0.49265357 27.026367 28.226970
    Unten links KachelX 4710 KachelY + 1 3427 0.47093210 0.49197766 26.982422 28.188244
    Unten rechts KachelX + 1 4711 KachelY + 1 3427 0.47169909 0.49197766 27.026367 28.188244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49265357-0.49197766) × R
    0.000675910000000002 × 6371000     		dl = 4306.22261000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49265357-0.49197766) × R
    0.000675910000000002 × 6371000     		dr = 4306.22261000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47093210-0.47169909) × cos(0.49265357) × R
    0.000766989999999967 × 0.88108091489529 × 6371000     		do = 4305.39597858271m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47093210-0.47169909) × cos(0.49197766) × R
    0.000766989999999967 × 0.88140039576013 × 6371000     		du = 4306.95711968504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49265357)-sin(0.49197766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88108091489529-0.88140039576013)×R²
    abs(0.47169909-0.47093210)×0.000319480864840682×R²
    0.000766989999999967×0.000319480864840682×6371000²
    0.000766989999999967×0.000319480864840682×40589641000000     		ar = 18543355.5244994m²