Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 471 / 313
↖ ↑ ↗
← N 57.136239°
W 14.414063°		 ← 21.213 km → N 57.136239°
W 14.062500°		 →
↑
21.268 km
↓
↑
21.268 km
↓
N 56.944974°
W 14.414063°		 ← 21.322 km →
452.317 km²		 N 56.944974°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46044921875 y=0.30615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46044921875 × 210)
    floor (0.46044921875 × 1024)
    floor (471.5)     		tx = 471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.30615234375 × 210)
    floor (0.30615234375 × 1024)
    floor (313.5)     		ty = 313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 471 / 313 ti = "10/471/313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/471/313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 471 ÷ 210
    471 ÷ 1024     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 313 ÷ 210
    313 ÷ 1024     		y = 0.3056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    0.388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.22104870712207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22104870712207))-π/2
    2×atan(3.39074176476454)-π/2
    2×1.28400591255152-π/2
    2.56801182510305-1.57079632675     		φ = 0.99721550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99721550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.136239°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 471 KachelY 313 -0.25157285 0.99721550 -14.414063 57.136239
    Oben rechts KachelX + 1 472 KachelY 313 -0.24543693 0.99721550 -14.062500 57.136239
    Unten links KachelX 471 KachelY + 1 314 -0.25157285 0.99387729 -14.414063 56.944974
    Unten rechts KachelX + 1 472 KachelY + 1 314 -0.24543693 0.99387729 -14.062500 56.944974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99721550-0.99387729) × R
    0.00333821000000001 × 6371000     		dl = 21267.7359100001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99721550-0.99387729) × R
    0.00333821000000001 × 6371000     		dr = 21267.7359100001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.24543693) × cos(0.99721550) × R
    0.00613592000000002 × 0.542643284198053 × 6371000     		do = 21212.9821367788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.24543693) × cos(0.99387729) × R
    0.00613592000000002 × 0.545444229211031 × 6371000     		du = 21322.4765288715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99721550)-sin(0.99387729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542643284198053-0.545444229211031)×R²
    abs(-0.24543693--0.25157285)×0.00280094501297889×R²
    0.00613592000000002×0.00280094501297889×6371000²
    0.00613592000000002×0.00280094501297889×40589641000000     		ar = 452316870.89423m²