Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 471 / 232
↖ ↑ ↗
← N 69.657086°
W 14.414063°		 ← 13.590 km → N 69.657086°
W 14.062500°		 →
↑
13.629 km
↓
↑
13.629 km
↓
N 69.534518°
W 14.414063°		 ← 13.668 km →
185.750 km²		 N 69.534518°
W 14.062500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.46044921875 y=0.22705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.46044921875 × 210)
    floor (0.46044921875 × 1024)
    floor (471.5)     		tx = 471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22705078125 × 210)
    floor (0.22705078125 × 1024)
    floor (232.5)     		ty = 232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 471 / 232 ti = "10/471/232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/471/232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 471 ÷ 210
    471 ÷ 1024     		x = 0.4599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 232 ÷ 210
    232 ÷ 1024     		y = 0.2265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4599609375 × 2 - 1) × π
    -0.080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.25157285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2265625 × 2 - 1) × π
    0.546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71805848238281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.25157285} λ = -0.25157285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71805848238281))-π/2
    2×atan(5.57369652248446)-π/2
    2×1.39327091479381-π/2
    2.78654182958763-1.57079632675     		φ = 1.21574550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.25157285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -14.414063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21574550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.657086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 471 KachelY 232 -0.25157285 1.21574550 -14.414063 69.657086
    Oben rechts KachelX + 1 472 KachelY 232 -0.24543693 1.21574550 -14.062500 69.657086
    Unten links KachelX 471 KachelY + 1 233 -0.25157285 1.21360628 -14.414063 69.534518
    Unten rechts KachelX + 1 472 KachelY + 1 233 -0.24543693 1.21360628 -14.062500 69.534518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21574550-1.21360628) × R
    0.00213921999999989 × 6371000     		dl = 13628.9706199993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21574550-1.21360628) × R
    0.00213921999999989 × 6371000     		dr = 13628.9706199993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.25157285--0.24543693) × cos(1.21574550) × R
    0.00613592000000002 × 0.347638022352561 × 6371000     		do = 13589.8469085973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.25157285--0.24543693) × cos(1.21360628) × R
    0.00613592000000002 × 0.349643019707478 × 6371000     		du = 13668.2261575675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21574550)-sin(1.21360628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347638022352561-0.349643019707478)×R²
    abs(-0.24543693--0.25157285)×0.00200499735491794×R²
    0.00613592000000002×0.00200499735491794×6371000²
    0.00613592000000002×0.00200499735491794×40589641000000     		ar = 185749809.324924m²