Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47098 / 55230
↖ ↑ ↗
← N 27.220441°
W 50.641480°		 ← 271.60 m → N 27.220441°
W 50.638733°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.217999°
W 50.641480°		 ← 271.61 m →
73 766 m²		 N 27.217999°
W 50.638733°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359333038330078 y=0.421375274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359333038330078 × 217)
    floor (0.359333038330078 × 131072)
    floor (47098.5)     		tx = 47098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421375274658203 × 217)
    floor (0.421375274658203 × 131072)
    floor (55230.5)     		ty = 55230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47098 / 55230 ti = "17/47098/55230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47098/55230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47098 ÷ 217
    47098 ÷ 131072     		x = 0.359329223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55230 ÷ 217
    55230 ÷ 131072     		y = 0.421371459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359329223632812 × 2 - 1) × π
    -0.281341552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88386056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421371459960938 × 2 - 1) × π
    0.157257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.494037687484299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88386056} λ = -0.88386056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494037687484299))-π/2
    2×atan(1.63892032641392)-π/2
    2×1.02294132417373-π/2
    2.04588264834746-1.57079632675     		φ = 0.47508632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88386056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.641480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47508632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.220441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47098 KachelY 55230 -0.88386056 0.47508632 -50.641480 27.220441
    Oben rechts KachelX + 1 47099 KachelY 55230 -0.88381262 0.47508632 -50.638733 27.220441
    Unten links KachelX 47098 KachelY + 1 55231 -0.88386056 0.47504369 -50.641480 27.217999
    Unten rechts KachelX + 1 47099 KachelY + 1 55231 -0.88381262 0.47504369 -50.638733 27.217999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47508632-0.47504369) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dl = 271.595729999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47508632-0.47504369) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dr = 271.595729999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88386056--0.88381262) × cos(0.47508632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889253240855333 × 6371000     		do = 271.60082913546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88386056--0.88381262) × cos(0.47504369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889272739657669 × 6371000     		du = 271.606784571593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47508632)-sin(0.47504369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889253240855333-0.889272739657669)×R²
    abs(-0.88381262--0.88386056)×1.94988023357601e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94988023357601e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94988023357601e-05×40589641000000     		ar = 73766.4342042547m²