Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47097 / 55225
↖ ↑ ↗
← N 27.232652°
W 50.644226°		 ← 271.51 m → N 27.232652°
W 50.641480°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
N 27.230211°
W 50.644226°		 ← 271.52 m →
73 726 m²		 N 27.230211°
W 50.641480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55225 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359325408935547 y=0.421337127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359325408935547 × 217)
    floor (0.359325408935547 × 131072)
    floor (47097.5)     		tx = 47097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421337127685547 × 217)
    floor (0.421337127685547 × 131072)
    floor (55225.5)     		ty = 55225
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47097 / 55225 ti = "17/47097/55225"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47097/55225.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47097 ÷ 217
    47097 ÷ 131072     		x = 0.359321594238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55225 ÷ 217
    55225 ÷ 131072     		y = 0.421333312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359321594238281 × 2 - 1) × π
    -0.281356811523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.88390849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421333312988281 × 2 - 1) × π
    0.157333374023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.494277371982399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88390849} λ = -0.88390849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494277371982399))-π/2
    2×atan(1.63931319729044)-π/2
    2×1.02304788843948-π/2
    2.04609577687897-1.57079632675     		φ = 0.47529945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88390849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.644226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47529945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.232652°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47097 KachelY 55225 -0.88390849 0.47529945 -50.644226 27.232652
    Oben rechts KachelX + 1 47098 KachelY 55225 -0.88386056 0.47529945 -50.641480 27.232652
    Unten links KachelX 47097 KachelY + 1 55226 -0.88390849 0.47525683 -50.644226 27.230211
    Unten rechts KachelX + 1 47098 KachelY + 1 55226 -0.88386056 0.47525683 -50.641480 27.230211
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47529945-0.47525683) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47529945-0.47525683) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88390849--0.88386056) × cos(0.47529945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889155731755634 × 6371000     		do = 271.514399235202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88390849--0.88386056) × cos(0.47525683) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889175234061464 × 6371000     		du = 271.5203544989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47529945)-sin(0.47525683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889155731755634-0.889175234061464)×R²
    abs(-0.88386056--0.88390849)×1.95023058298105e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95023058298105e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95023058298105e-05×40589641000000     		ar = 73725.6618169784m²