Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47096 / 55528
↖ ↑ ↗
← N 26.490241°
W 50.646973°		 ← 273.36 m → N 26.490241°
W 50.644226°		 →
↑
273.38 m
↓
↑
273.38 m
↓
N 26.487782°
W 50.646973°		 ← 273.37 m →
74 732 m²		 N 26.487782°
W 50.644226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359317779541016 y=0.423648834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359317779541016 × 217)
    floor (0.359317779541016 × 131072)
    floor (47096.5)     		tx = 47096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423648834228516 × 217)
    floor (0.423648834228516 × 131072)
    floor (55528.5)     		ty = 55528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47096 / 55528 ti = "17/47096/55528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47096/55528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47096 ÷ 217
    47096 ÷ 131072     		x = 0.35931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55528 ÷ 217
    55528 ÷ 131072     		y = 0.42364501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42364501953125 × 2 - 1) × π
    0.1527099609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.479752491397522
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88395643} λ = -0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.479752491397522))-π/2
    2×atan(1.61567445937279)-π/2
    2×1.01656912121746-π/2
    2.03313824243491-1.57079632675     		φ = 0.46234192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46234192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.490241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47096 KachelY 55528 -0.88395643 0.46234192 -50.646973 26.490241
    Oben rechts KachelX + 1 47097 KachelY 55528 -0.88390849 0.46234192 -50.644226 26.490241
    Unten links KachelX 47096 KachelY + 1 55529 -0.88395643 0.46229901 -50.646973 26.487782
    Unten rechts KachelX + 1 47097 KachelY + 1 55529 -0.88390849 0.46229901 -50.644226 26.487782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46234192-0.46229901) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dl = 273.379610000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46234192-0.46229901) × R
    4.29100000000071e-05 × 6371000     		dr = 273.379610000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88395643--0.88390849) × cos(0.46234192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.895010350286399 × 6371000     		do = 273.359198543703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88395643--0.88390849) × cos(0.46229901) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.89502948926928 × 6371000     		du = 273.365044081713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46234192)-sin(0.46229901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.895010350286399-0.89502948926928)×R²
    abs(-0.88390849--0.88395643)×1.9138982881528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9138982881528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9138982881528e-05×40589641000000     		ar = 74731.6301247209m²