Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47096 / 55256
↖ ↑ ↗
← N 27.156921°
W 50.646973°		 ← 271.76 m → N 27.156921°
W 50.644226°		 →
↑
271.79 m
↓
↑
271.79 m
↓
N 27.154476°
W 50.646973°		 ← 271.76 m →
73 860 m²		 N 27.154476°
W 50.644226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359317779541016 y=0.421573638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359317779541016 × 217)
    floor (0.359317779541016 × 131072)
    floor (47096.5)     		tx = 47096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421573638916016 × 217)
    floor (0.421573638916016 × 131072)
    floor (55256.5)     		ty = 55256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47096 / 55256 ti = "17/47096/55256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47096/55256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47096 ÷ 217
    47096 ÷ 131072     		x = 0.35931396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55256 ÷ 217
    55256 ÷ 131072     		y = 0.42156982421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35931396484375 × 2 - 1) × π
    -0.2813720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88395643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42156982421875 × 2 - 1) × π
    0.1568603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492791328094177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88395643} λ = -0.88395643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492791328094177))-π/2
    2×atan(1.63687891510578)-π/2
    2×1.02238700172857-π/2
    2.04477400345714-1.57079632675     		φ = 0.47397768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88395643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.646973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47397768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.156921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47096 KachelY 55256 -0.88395643 0.47397768 -50.646973 27.156921
    Oben rechts KachelX + 1 47097 KachelY 55256 -0.88390849 0.47397768 -50.644226 27.156921
    Unten links KachelX 47096 KachelY + 1 55257 -0.88395643 0.47393502 -50.646973 27.154476
    Unten rechts KachelX + 1 47097 KachelY + 1 55257 -0.88390849 0.47393502 -50.644226 27.154476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47397768-0.47393502) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dl = 271.786860000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47397768-0.47393502) × R
    4.26600000000277e-05 × 6371000     		dr = 271.786860000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88395643--0.88390849) × cos(0.47397768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889759803066198 × 6371000     		do = 271.755546273569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88395643--0.88390849) × cos(0.47393502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889779273520547 × 6371000     		du = 271.761493051497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47397768)-sin(0.47393502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889759803066198-0.889779273520547)×R²
    abs(-0.88390849--0.88395643)×1.94704543495794e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94704543495794e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94704543495794e-05×40589641000000     		ar = 73860.3947485915m²