Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47095 / 55254
↖ ↑ ↗
← N 27.161808°
W 50.649719°		 ← 271.74 m → N 27.161808°
W 50.646973°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.159364°
W 50.649719°		 ← 271.75 m →
73 840 m²		 N 27.159364°
W 50.646973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359310150146484 y=0.421558380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359310150146484 × 217)
    floor (0.359310150146484 × 131072)
    floor (47095.5)     		tx = 47095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421558380126953 × 217)
    floor (0.421558380126953 × 131072)
    floor (55254.5)     		ty = 55254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47095 / 55254 ti = "17/47095/55254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47095/55254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47095 ÷ 217
    47095 ÷ 131072     		x = 0.359306335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55254 ÷ 217
    55254 ÷ 131072     		y = 0.421554565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359306335449219 × 2 - 1) × π
    -0.281387329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.88400437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421554565429688 × 2 - 1) × π
    0.156890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.492887201893417
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88400437} λ = -0.88400437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492887201893417))-π/2
    2×atan(1.63703585642942)-π/2
    2×1.02242965312175-π/2
    2.04485930624349-1.57079632675     		φ = 0.47406298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88400437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.649719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47406298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.161808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47095 KachelY 55254 -0.88400437 0.47406298 -50.649719 27.161808
    Oben rechts KachelX + 1 47096 KachelY 55254 -0.88395643 0.47406298 -50.646973 27.161808
    Unten links KachelX 47095 KachelY + 1 55255 -0.88400437 0.47402033 -50.649719 27.159364
    Unten rechts KachelX + 1 47096 KachelY + 1 55255 -0.88395643 0.47402033 -50.646973 27.159364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47406298-0.47402033) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dl = 271.72315000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47406298-0.47402033) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dr = 271.72315000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88400437--0.88395643) × cos(0.47406298) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889720866429877 × 6371000     		do = 271.743654022608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88400437--0.88395643) × cos(0.47402033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889740335557266 × 6371000     		du = 271.749600395248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47406298)-sin(0.47402033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889720866429877-0.889740335557266)×R²
    abs(-0.88395643--0.88400437)×1.946912738926e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.946912738926e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.946912738926e-05×40589641000000     		ar = 73839.8495583228m²