Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47094 / 55222
↖ ↑ ↗
← N 27.239979°
W 50.652466°		 ← 271.50 m → N 27.239979°
W 50.649719°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.237536°
W 50.652466°		 ← 271.50 m →
73 738 m²		 N 27.237536°
W 50.649719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359302520751953 y=0.421314239501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359302520751953 × 217)
    floor (0.359302520751953 × 131072)
    floor (47094.5)     		tx = 47094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421314239501953 × 217)
    floor (0.421314239501953 × 131072)
    floor (55222.5)     		ty = 55222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47094 / 55222 ti = "17/47094/55222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47094/55222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47094 ÷ 217
    47094 ÷ 131072     		x = 0.359298706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55222 ÷ 217
    55222 ÷ 131072     		y = 0.421310424804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359298706054688 × 2 - 1) × π
    -0.281402587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88405230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421310424804688 × 2 - 1) × π
    0.157379150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.494421182681259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88405230} λ = -0.88405230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494421182681259))-π/2
    2×atan(1.63954896501954)-π/2
    2×1.02311182138921-π/2
    2.04622364277842-1.57079632675     		φ = 0.47542732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88405230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.652466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47542732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.239979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47094 KachelY 55222 -0.88405230 0.47542732 -50.652466 27.239979
    Oben rechts KachelX + 1 47095 KachelY 55222 -0.88400437 0.47542732 -50.649719 27.239979
    Unten links KachelX 47094 KachelY + 1 55223 -0.88405230 0.47538469 -50.652466 27.237536
    Unten rechts KachelX + 1 47095 KachelY + 1 55223 -0.88400437 0.47538469 -50.649719 27.237536
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47542732-0.47538469) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dl = 271.595729999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47542732-0.47538469) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dr = 271.595729999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88405230--0.88400437) × cos(0.47542732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889097210570384 × 6371000     		do = 271.496529087276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88405230--0.88400437) × cos(0.47538469) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889116722298651 × 6371000     		du = 271.502487228228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47542732)-sin(0.47538469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889097210570384-0.889116722298651)×R²
    abs(-0.88400437--0.88405230)×1.95117282667523e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95117282667523e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95117282667523e-05×40589641000000     		ar = 73738.1071238682m²