Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47093 / 55203
↖ ↑ ↗
← N 27.286367°
W 50.655212°		 ← 271.44 m → N 27.286367°
W 50.652466°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 27.283925°
W 50.655212°		 ← 271.45 m →
73 688 m²		 N 27.283925°
W 50.652466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359294891357422 y=0.421169281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359294891357422 × 217)
    floor (0.359294891357422 × 131072)
    floor (47093.5)     		tx = 47093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421169281005859 × 217)
    floor (0.421169281005859 × 131072)
    floor (55203.5)     		ty = 55203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47093 / 55203 ti = "17/47093/55203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47093/55203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47093 ÷ 217
    47093 ÷ 131072     		x = 0.359291076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55203 ÷ 217
    55203 ÷ 131072     		y = 0.421165466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359291076660156 × 2 - 1) × π
    -0.281417846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.88410024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421165466308594 × 2 - 1) × π
    0.157669067382812 × 3.1415926535     		Φ = 0.49533198377404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88410024} λ = -0.88410024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49533198377404))-π/2
    2×atan(1.64104294826606)-π/2
    2×1.02351663231453-π/2
    2.04703326462906-1.57079632675     		φ = 0.47623694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88410024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.655212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47623694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.286367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47093 KachelY 55203 -0.88410024 0.47623694 -50.655212 27.286367
    Oben rechts KachelX + 1 47094 KachelY 55203 -0.88405230 0.47623694 -50.652466 27.286367
    Unten links KachelX 47093 KachelY + 1 55204 -0.88410024 0.47619433 -50.655212 27.283925
    Unten rechts KachelX + 1 47094 KachelY + 1 55204 -0.88405230 0.47619433 -50.652466 27.283925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47623694-0.47619433) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dl = 271.46830999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47623694-0.47619433) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dr = 271.46830999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88410024--0.88405230) × cos(0.47623694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888726341230581 × 6371000     		do = 271.439900427665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88410024--0.88405230) × cos(0.47619433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888745874471173 × 6371000     		du = 271.445866382127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47623694)-sin(0.47619433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888726341230581-0.888745874471173)×R²
    abs(-0.88405230--0.88410024)×1.95332405914517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95332405914517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95332405914517e-05×40589641000000     		ar = 73688.1408306911m²