Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47092 / 55212
↖ ↑ ↗
← N 27.264395°
W 50.657959°		 ← 271.49 m → N 27.264395°
W 50.655212°		 →
↑
271.47 m
↓
↑
271.47 m
↓
N 27.261954°
W 50.657959°		 ← 271.50 m →
73 703 m²		 N 27.261954°
W 50.655212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359287261962891 y=0.421237945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359287261962891 × 217)
    floor (0.359287261962891 × 131072)
    floor (47092.5)     		tx = 47092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421237945556641 × 217)
    floor (0.421237945556641 × 131072)
    floor (55212.5)     		ty = 55212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47092 / 55212 ti = "17/47092/55212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47092/55212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47092 ÷ 217
    47092 ÷ 131072     		x = 0.359283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55212 ÷ 217
    55212 ÷ 131072     		y = 0.421234130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421234130859375 × 2 - 1) × π
    0.15753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.49490055167746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88414818} λ = -0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.49490055167746))-π/2
    2×atan(1.64033510237101)-π/2
    2×1.0233249008245-π/2
    2.046649801649-1.57079632675     		φ = 0.47585347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47585347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.264395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47092 KachelY 55212 -0.88414818 0.47585347 -50.657959 27.264395
    Oben rechts KachelX + 1 47093 KachelY 55212 -0.88410024 0.47585347 -50.655212 27.264395
    Unten links KachelX 47092 KachelY + 1 55213 -0.88414818 0.47581086 -50.657959 27.261954
    Unten rechts KachelX + 1 47093 KachelY + 1 55213 -0.88410024 0.47581086 -50.655212 27.261954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47585347-0.47581086) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dl = 271.46830999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47585347-0.47581086) × R
    4.26099999999985e-05 × 6371000     		dr = 271.46830999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88414818--0.88410024) × cos(0.47585347) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888902073140742 × 6371000     		do = 271.493573476367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88414818--0.88410024) × cos(0.47581086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888921591858254 × 6371000     		du = 271.499534995107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47585347)-sin(0.47581086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888902073140742-0.888921591858254)×R²
    abs(-0.88410024--0.88414818)×1.95187175128231e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95187175128231e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95187175128231e-05×40589641000000     		ar = 73702.7107603633m²