Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47092 / 55196
↖ ↑ ↗
← N 27.303452°
W 50.657959°		 ← 271.40 m → N 27.303452°
W 50.655212°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.301012°
W 50.657959°		 ← 271.40 m →
73 642 m²		 N 27.301012°
W 50.655212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359287261962891 y=0.421115875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359287261962891 × 217)
    floor (0.359287261962891 × 131072)
    floor (47092.5)     		tx = 47092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421115875244141 × 217)
    floor (0.421115875244141 × 131072)
    floor (55196.5)     		ty = 55196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47092 / 55196 ti = "17/47092/55196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47092/55196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47092 ÷ 217
    47092 ÷ 131072     		x = 0.359283447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55196 ÷ 217
    55196 ÷ 131072     		y = 0.421112060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359283447265625 × 2 - 1) × π
    -0.28143310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88414818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421112060546875 × 2 - 1) × π
    0.15777587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.495667542071381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88414818} λ = -0.88414818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495667542071381))-π/2
    2×atan(1.64159370624418)-π/2
    2×1.02366573059303-π/2
    2.04733146118606-1.57079632675     		φ = 0.47653513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88414818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.657959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47653513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.303452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47092 KachelY 55196 -0.88414818 0.47653513 -50.657959 27.303452
    Oben rechts KachelX + 1 47093 KachelY 55196 -0.88410024 0.47653513 -50.655212 27.303452
    Unten links KachelX 47092 KachelY + 1 55197 -0.88414818 0.47649254 -50.657959 27.301012
    Unten rechts KachelX + 1 47093 KachelY + 1 55197 -0.88410024 0.47649254 -50.655212 27.301012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47653513-0.47649254) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dl = 271.340889999704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47653513-0.47649254) × R
    4.25899999999535e-05 × 6371000     		dr = 271.340889999704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88414818--0.88410024) × cos(0.47653513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888589600064373 × 6371000     		do = 271.398136155787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88414818--0.88410024) × cos(0.47649254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888609135422962 × 6371000     		du = 271.40410275714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47653513)-sin(0.47649254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888589600064373-0.888609135422962)×R²
    abs(-0.88410024--0.88414818)×1.95353585888958e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95353585888958e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95353585888958e-05×40589641000000     		ar = 73642.2213113127m²