Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4709 / 3500
↖ ↑ ↗
← N 25.324167°
E 26.938476°		 ← 4 416.91 m → N 25.324167°
E 26.982422°		 →
↑
4 417.65 m
↓
↑
4 417.65 m
↓
N 25.284438°
E 26.938476°		 ← 4 418.36 m →
19 515 578 m²		 N 25.284438°
E 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57489013671875 y=0.42730712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57489013671875 × 213)
    floor (0.57489013671875 × 8192)
    floor (4709.5)     		tx = 4709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42730712890625 × 213)
    floor (0.42730712890625 × 8192)
    floor (3500.5)     		ty = 3500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4709 / 3500 ti = "13/4709/3500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4709/3500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4709 ÷ 213
    4709 ÷ 8192     		x = 0.5748291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3500 ÷ 213
    3500 ÷ 8192     		y = 0.42724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5748291015625 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.47016511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42724609375 × 2 - 1) × π
    0.1455078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.457126274776855
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.47016511} λ = 0.47016511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.457126274776855))-π/2
    2×atan(1.57952832624386)-π/2
    2×1.00639320649028-π/2
    2.01278641298055-1.57079632675     		φ = 0.44199009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.47016511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.938476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44199009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.324167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4709 KachelY 3500 0.47016511 0.44199009 26.938476 25.324167
    Oben rechts KachelX + 1 4710 KachelY 3500 0.47093210 0.44199009 26.982422 25.324167
    Unten links KachelX 4709 KachelY + 1 3501 0.47016511 0.44129669 26.938476 25.284438
    Unten rechts KachelX + 1 4710 KachelY + 1 3501 0.47093210 0.44129669 26.982422 25.284438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44199009-0.44129669) × R
    0.000693400000000011 × 6371000     		dl = 4417.65140000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44199009-0.44129669) × R
    0.000693400000000011 × 6371000     		dr = 4417.65140000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.47016511-0.47093210) × cos(0.44199009) × R
    0.000766990000000023 × 0.903902214294465 × 6371000     		do = 4416.91210496618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.47016511-0.47093210) × cos(0.44129669) × R
    0.000766990000000023 × 0.904198591302925 × 6371000     		du = 4418.36034922933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44199009)-sin(0.44129669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.903902214294465-0.904198591302925)×R²
    abs(0.47093210-0.47016511)×0.000296377008459858×R²
    0.000766990000000023×0.000296377008459858×6371000²
    0.000766990000000023×0.000296377008459858×40589641000000     		ar = 19515577.6452595m²