Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4709 / 12901
↖ ↑ ↗
← S 71.335983°
W 76.530762°		 ← 781.87 m → S 71.335983°
W 76.508789°		 →
↑
781.72 m
↓
↑
781.72 m
↓
S 71.343013°
W 76.530762°		 ← 781.59 m →
611 096 m²		 S 71.343013°
W 76.508789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287445068359375 y=0.787445068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287445068359375 × 214)
    floor (0.287445068359375 × 16384)
    floor (4709.5)     		tx = 4709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.787445068359375 × 214)
    floor (0.787445068359375 × 16384)
    floor (12901.5)     		ty = 12901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4709 / 12901 ti = "14/4709/12901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4709/12901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4709 ÷ 214
    4709 ÷ 16384     		x = 0.28741455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12901 ÷ 214
    12901 ÷ 16384     		y = 0.78741455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.4251708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33571377
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78741455078125 × 2 - 1) × π
    -0.5748291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.80587888248676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33571377} λ = -1.33571377}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80587888248676))-π/2
    2×atan(0.164329966362011)-π/2
    2×0.162874273265379-π/2
    0.325748546530759-1.57079632675     		φ = -1.24504778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33571377} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.530762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24504778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.335983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4709 KachelY 12901 -1.33571377 -1.24504778 -76.530762 -71.335983
    Oben rechts KachelX + 1 4710 KachelY 12901 -1.33533028 -1.24504778 -76.508789 -71.335983
    Unten links KachelX 4709 KachelY + 1 12902 -1.33571377 -1.24517048 -76.530762 -71.343013
    Unten rechts KachelX + 1 4710 KachelY + 1 12902 -1.33533028 -1.24517048 -76.508789 -71.343013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24504778--1.24517048) × R
    0.000122700000000142 × 6371000     		dl = 781.721700000906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24504778--1.24517048) × R
    0.000122700000000142 × 6371000     		dr = 781.721700000906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33571377--1.33533028) × cos(-1.24504778) × R
    0.000383489999999931 × 0.320018057246782 × 6371000     		do = 781.872850532263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33571377--1.33533028) × cos(-1.24517048) × R
    0.000383489999999931 × 0.319901807453989 × 6371000     		du = 781.588827319178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24504778)-sin(-1.24517048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320018057246782-0.319901807453989)×R²
    abs(-1.33533028--1.33571377)×0.000116249792792733×R²
    0.000383489999999931×0.000116249792792733×6371000²
    0.000383489999999931×0.000116249792792733×40589641000000     		ar = 611095.961114769m²