Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47089 / 55247
↖ ↑ ↗
← N 27.178912°
W 50.666199°		 ← 271.70 m → N 27.178912°
W 50.663452°		 →
↑
271.66 m
↓
↑
271.66 m
↓
N 27.176469°
W 50.666199°		 ← 271.71 m →
73 811 m²		 N 27.176469°
W 50.663452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359264373779297 y=0.421504974365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359264373779297 × 217)
    floor (0.359264373779297 × 131072)
    floor (47089.5)     		tx = 47089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421504974365234 × 217)
    floor (0.421504974365234 × 131072)
    floor (55247.5)     		ty = 55247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47089 / 55247 ti = "17/47089/55247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47089/55247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47089 ÷ 217
    47089 ÷ 131072     		x = 0.359260559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55247 ÷ 217
    55247 ÷ 131072     		y = 0.421501159667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359260559082031 × 2 - 1) × π
    -0.281478881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.88429199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421501159667969 × 2 - 1) × π
    0.156997680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.493222760190758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88429199} λ = -0.88429199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493222760190758))-π/2
    2×atan(1.63758526956901)-π/2
    2×1.02257891829628-π/2
    2.04515783659256-1.57079632675     		φ = 0.47436151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88429199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.666199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47436151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.178912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47089 KachelY 55247 -0.88429199 0.47436151 -50.666199 27.178912
    Oben rechts KachelX + 1 47090 KachelY 55247 -0.88424405 0.47436151 -50.663452 27.178912
    Unten links KachelX 47089 KachelY + 1 55248 -0.88429199 0.47431887 -50.666199 27.176469
    Unten rechts KachelX + 1 47090 KachelY + 1 55248 -0.88424405 0.47431887 -50.663452 27.176469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47436151-0.47431887) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dl = 271.65943999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47436151-0.47431887) × R
    4.26399999999827e-05 × 6371000     		dr = 271.65943999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88429199--0.88424405) × cos(0.47436151) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889584546359723 × 6371000     		do = 271.702018364934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88429199--0.88424405) × cos(0.47431887) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889604022247239 × 6371000     		du = 271.707966802291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47436151)-sin(0.47431887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889584546359723-0.889604022247239)×R²
    abs(-0.88424405--0.88429199)×1.94758875163847e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94758875163847e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94758875163847e-05×40589641000000     		ar = 73811.2261416046m²