Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47087 / 55215
↖ ↑ ↗
← N 27.257071°
W 50.671692°		 ← 271.51 m → N 27.257071°
W 50.668945°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
N 27.254629°
W 50.671692°		 ← 271.52 m →
73 725 m²		 N 27.254629°
W 50.668945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359249114990234 y=0.421260833740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359249114990234 × 217)
    floor (0.359249114990234 × 131072)
    floor (47087.5)     		tx = 47087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421260833740234 × 217)
    floor (0.421260833740234 × 131072)
    floor (55215.5)     		ty = 55215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47087 / 55215 ti = "17/47087/55215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47087/55215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47087 ÷ 217
    47087 ÷ 131072     		x = 0.359245300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55215 ÷ 217
    55215 ÷ 131072     		y = 0.421257019042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359245300292969 × 2 - 1) × π
    -0.281509399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.88438786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421257019042969 × 2 - 1) × π
    0.157485961914062 × 3.1415926535     		Φ = 0.4947567409786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88438786} λ = -0.88438786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4947567409786))-π/2
    2×atan(1.64009922159507)-π/2
    2×1.02326098190521-π/2
    2.04652196381043-1.57079632675     		φ = 0.47572564
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88438786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.671692°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47572564 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.257071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47087 KachelY 55215 -0.88438786 0.47572564 -50.671692 27.257071
    Oben rechts KachelX + 1 47088 KachelY 55215 -0.88433992 0.47572564 -50.668945 27.257071
    Unten links KachelX 47087 KachelY + 1 55216 -0.88438786 0.47568302 -50.671692 27.254629
    Unten rechts KachelX + 1 47088 KachelY + 1 55216 -0.88433992 0.47568302 -50.668945 27.254629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47572564-0.47568302) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47572564-0.47568302) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88438786--0.88433992) × cos(0.47572564) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888960624451434 × 6371000     		do = 271.511456554392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88438786--0.88433992) × cos(0.47568302) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.888980142906488 × 6371000     		du = 271.517417992971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47572564)-sin(0.47568302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888960624451434-0.888980142906488)×R²
    abs(-0.88433992--0.88438786)×1.95184550536576e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.95184550536576e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.95184550536576e-05×40589641000000     		ar = 73724.8636233023m²