Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47085 / 55251
↖ ↑ ↗
← N 27.169139°
W 50.677185°		 ← 271.67 m → N 27.169139°
W 50.674439°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.166695°
W 50.677185°		 ← 271.68 m →
73 820 m²		 N 27.166695°
W 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359233856201172 y=0.421535491943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359233856201172 × 217)
    floor (0.359233856201172 × 131072)
    floor (47085.5)     		tx = 47085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421535491943359 × 217)
    floor (0.421535491943359 × 131072)
    floor (55251.5)     		ty = 55251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47085 / 55251 ti = "17/47085/55251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47085/55251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47085 ÷ 217
    47085 ÷ 131072     		x = 0.359230041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55251 ÷ 217
    55251 ÷ 131072     		y = 0.421531677246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359230041503906 × 2 - 1) × π
    -0.281539916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.88448373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421531677246094 × 2 - 1) × π
    0.156936645507812 × 3.1415926535     		Φ = 0.493031012592278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88448373} λ = -0.88448373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493031012592278))-π/2
    2×atan(1.637271296629)-π/2
    2×1.02249362671142-π/2
    2.04498725342284-1.57079632675     		φ = 0.47419093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88448373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.677185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47419093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.169139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47085 KachelY 55251 -0.88448373 0.47419093 -50.677185 27.169139
    Oben rechts KachelX + 1 47086 KachelY 55251 -0.88443580 0.47419093 -50.674439 27.169139
    Unten links KachelX 47085 KachelY + 1 55252 -0.88448373 0.47414828 -50.677185 27.166695
    Unten rechts KachelX + 1 47086 KachelY + 1 55252 -0.88443580 0.47414828 -50.674439 27.166695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47419093-0.47414828) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dl = 271.72315000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47419093-0.47414828) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dr = 271.72315000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88448373--0.88443580) × cos(0.47419093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889662449337317 × 6371000     		do = 271.669131544581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88448373--0.88443580) × cos(0.47414828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.889681923319867 × 6371000     		du = 271.675078159425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47419093)-sin(0.47414828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889662449337317-0.889681923319867)×R²
    abs(-0.88443580--0.88448373)×1.94739825498669e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94739825498669e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94739825498669e-05×40589641000000     		ar = 73819.600108702m²