Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47085 / 55197
↖ ↑ ↗
← N 27.301012°
W 50.677185°		 ← 271.35 m → N 27.301012°
W 50.674439°		 →
↑
271.40 m
↓
↑
271.40 m
↓
N 27.298571°
W 50.677185°		 ← 271.35 m →
73 646 m²		 N 27.298571°
W 50.674439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359233856201172 y=0.421123504638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359233856201172 × 217)
    floor (0.359233856201172 × 131072)
    floor (47085.5)     		tx = 47085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421123504638672 × 217)
    floor (0.421123504638672 × 131072)
    floor (55197.5)     		ty = 55197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47085 / 55197 ti = "17/47085/55197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47085/55197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47085 ÷ 217
    47085 ÷ 131072     		x = 0.359230041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55197 ÷ 217
    55197 ÷ 131072     		y = 0.421119689941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359230041503906 × 2 - 1) × π
    -0.281539916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.88448373
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421119689941406 × 2 - 1) × π
    0.157760620117188 × 3.1415926535     		Φ = 0.495619605171761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88448373} λ = -0.88448373}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495619605171761))-π/2
    2×atan(1.64151501521758)-π/2
    2×1.02364443224369-π/2
    2.04728886448739-1.57079632675     		φ = 0.47649254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88448373} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.677185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47649254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.301012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47085 KachelY 55197 -0.88448373 0.47649254 -50.677185 27.301012
    Oben rechts KachelX + 1 47086 KachelY 55197 -0.88443580 0.47649254 -50.674439 27.301012
    Unten links KachelX 47085 KachelY + 1 55198 -0.88448373 0.47644994 -50.677185 27.298571
    Unten rechts KachelX + 1 47086 KachelY + 1 55198 -0.88443580 0.47644994 -50.674439 27.298571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47649254-0.47644994) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dl = 271.404600000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47649254-0.47644994) × R
    4.26000000000037e-05 × 6371000     		dr = 271.404600000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88448373--0.88443580) × cos(0.47649254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888609135422962 × 6371000     		do = 271.347489469467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88448373--0.88443580) × cos(0.47644994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.888628673755969 × 6371000     		du = 271.353455734497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47649254)-sin(0.47644994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888609135422962-0.888628673755969)×R²
    abs(-0.88443580--0.88448373)×1.95383330076071e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.95383330076071e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.95383330076071e-05×40589641000000     		ar = 73645.7664875586m²