Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47084 / 55220
↖ ↑ ↗
← N 27.244863°
W 50.679932°		 ← 271.54 m → N 27.244863°
W 50.677185°		 →
↑
271.53 m
↓
↑
271.53 m
↓
N 27.242421°
W 50.679932°		 ← 271.55 m →
73 733 m²		 N 27.242421°
W 50.677185°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359226226806641 y=0.421298980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359226226806641 × 217)
    floor (0.359226226806641 × 131072)
    floor (47084.5)     		tx = 47084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421298980712891 × 217)
    floor (0.421298980712891 × 131072)
    floor (55220.5)     		ty = 55220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47084 / 55220 ti = "17/47084/55220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47084/55220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47084 ÷ 217
    47084 ÷ 131072     		x = 0.359222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55220 ÷ 217
    55220 ÷ 131072     		y = 0.421295166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.28155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88453167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421295166015625 × 2 - 1) × π
    0.15740966796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.494517056480499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88453167} λ = -0.88453167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494517056480499))-π/2
    2×atan(1.63970616234329)-π/2
    2×1.02315444101783-π/2
    2.04630888203566-1.57079632675     		φ = 0.47551256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88453167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.679932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47551256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.244863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47084 KachelY 55220 -0.88453167 0.47551256 -50.679932 27.244863
    Oben rechts KachelX + 1 47085 KachelY 55220 -0.88448373 0.47551256 -50.677185 27.244863
    Unten links KachelX 47084 KachelY + 1 55221 -0.88453167 0.47546994 -50.679932 27.242421
    Unten rechts KachelX + 1 47085 KachelY + 1 55221 -0.88448373 0.47546994 -50.677185 27.242421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47551256-0.47546994) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dl = 271.532019999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47551256-0.47546994) × R
    4.26199999999932e-05 × 6371000     		dr = 271.532019999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88453167--0.88448373) × cos(0.47551256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889058191422456 × 6371000     		do = 271.541256018087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88453167--0.88448373) × cos(0.47546994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889077701803909 × 6371000     		du = 271.54721499078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47551256)-sin(0.47546994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889058191422456-0.889077701803909)×R²
    abs(-0.88448373--0.88453167)×1.95103814529807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95103814529807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95103814529807e-05×40589641000000     		ar = 73732.9547970343m²