Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47082 / 55258
↖ ↑ ↗
← N 27.152033°
W 50.685425°		 ← 271.77 m → N 27.152033°
W 50.682678°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.149589°
W 50.685425°		 ← 271.77 m →
73 846 m²		 N 27.149589°
W 50.682678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359210968017578 y=0.421588897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359210968017578 × 217)
    floor (0.359210968017578 × 131072)
    floor (47082.5)     		tx = 47082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421588897705078 × 217)
    floor (0.421588897705078 × 131072)
    floor (55258.5)     		ty = 55258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47082 / 55258 ti = "17/47082/55258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47082/55258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47082 ÷ 217
    47082 ÷ 131072     		x = 0.359207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55258 ÷ 217
    55258 ÷ 131072     		y = 0.421585083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.281585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88462755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421585083007812 × 2 - 1) × π
    0.156829833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.492695454294937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88462755} λ = -0.88462755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492695454294937))-π/2
    2×atan(1.63672198882797)-π/2
    2×1.02234434846894-π/2
    2.04468869693789-1.57079632675     		φ = 0.47389237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88462755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47389237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.152033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47082 KachelY 55258 -0.88462755 0.47389237 -50.685425 27.152033
    Oben rechts KachelX + 1 47083 KachelY 55258 -0.88457961 0.47389237 -50.682678 27.152033
    Unten links KachelX 47082 KachelY + 1 55259 -0.88462755 0.47384972 -50.685425 27.149589
    Unten rechts KachelX + 1 47083 KachelY + 1 55259 -0.88457961 0.47384972 -50.682678 27.149589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47389237-0.47384972) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dl = 271.72315000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47389237-0.47384972) × R
    4.26500000000329e-05 × 6371000     		dr = 271.72315000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88462755--0.88457961) × cos(0.47389237) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889798737792078 × 6371000     		do = 271.767437941662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88462755--0.88457961) × cos(0.47384972) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889818200445044 × 6371000     		du = 271.773382336847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47389237)-sin(0.47384972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889798737792078-0.889818200445044)×R²
    abs(-0.88457961--0.88462755)×1.94626529665953e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94626529665953e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94626529665953e-05×40589641000000     		ar = 73846.3119311655m²