Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47082 / 55237
↖ ↑ ↗
← N 27.203343°
W 50.685425°		 ← 271.64 m → N 27.203343°
W 50.682678°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.200900°
W 50.685425°		 ← 271.65 m →
73 778 m²		 N 27.200900°
W 50.682678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359210968017578 y=0.421428680419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359210968017578 × 217)
    floor (0.359210968017578 × 131072)
    floor (47082.5)     		tx = 47082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421428680419922 × 217)
    floor (0.421428680419922 × 131072)
    floor (55237.5)     		ty = 55237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47082 / 55237 ti = "17/47082/55237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47082/55237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47082 ÷ 217
    47082 ÷ 131072     		x = 0.359207153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55237 ÷ 217
    55237 ÷ 131072     		y = 0.421424865722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359207153320312 × 2 - 1) × π
    -0.281585693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88462755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421424865722656 × 2 - 1) × π
    0.157150268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.493702129186958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88462755} λ = -0.88462755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.493702129186958))-π/2
    2×atan(1.6383704653601)-π/2
    2×1.0227921145736-π/2
    2.0455842291472-1.57079632675     		φ = 0.47478790
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88462755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.685425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47478790 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.203343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47082 KachelY 55237 -0.88462755 0.47478790 -50.685425 27.203343
    Oben rechts KachelX + 1 47083 KachelY 55237 -0.88457961 0.47478790 -50.682678 27.203343
    Unten links KachelX 47082 KachelY + 1 55238 -0.88462755 0.47474527 -50.685425 27.200900
    Unten rechts KachelX + 1 47083 KachelY + 1 55238 -0.88457961 0.47474527 -50.682678 27.200900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47478790-0.47474527) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dl = 271.595729999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47478790-0.47474527) × R
    4.2629999999988e-05 × 6371000     		dr = 271.595729999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88462755--0.88457961) × cos(0.47478790) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889389703104044 × 6371000     		do = 271.642508219384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88462755--0.88457961) × cos(0.47474527) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889409190592624 × 6371000     		du = 271.648460200004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47478790)-sin(0.47474527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889389703104044-0.889409190592624)×R²
    abs(-0.88457961--0.88462755)×1.9487488579939e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9487488579939e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9487488579939e-05×40589641000000     		ar = 73777.7535962936m²