Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47081 / 55271
↖ ↑ ↗
← N 27.120258°
W 50.688171°		 ← 271.79 m → N 27.120258°
W 50.685425°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.117813°
W 50.688171°		 ← 271.79 m →
73 887 m²		 N 27.117813°
W 50.685425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359203338623047 y=0.421688079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359203338623047 × 217)
    floor (0.359203338623047 × 131072)
    floor (47081.5)     		tx = 47081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421688079833984 × 217)
    floor (0.421688079833984 × 131072)
    floor (55271.5)     		ty = 55271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47081 / 55271 ti = "17/47081/55271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47081/55271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47081 ÷ 217
    47081 ÷ 131072     		x = 0.359199523925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55271 ÷ 217
    55271 ÷ 131072     		y = 0.421684265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359199523925781 × 2 - 1) × π
    -0.281600952148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.88467548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421684265136719 × 2 - 1) × π
    0.156631469726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.492072274599876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88467548} λ = -0.88467548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492072274599876))-π/2
    2×atan(1.63570233466496)-π/2
    2×1.02206705680251-π/2
    2.04413411360502-1.57079632675     		φ = 0.47333779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88467548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.688171°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47333779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.120258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47081 KachelY 55271 -0.88467548 0.47333779 -50.688171 27.120258
    Oben rechts KachelX + 1 47082 KachelY 55271 -0.88462755 0.47333779 -50.685425 27.120258
    Unten links KachelX 47081 KachelY + 1 55272 -0.88467548 0.47329512 -50.688171 27.117813
    Unten rechts KachelX + 1 47082 KachelY + 1 55272 -0.88462755 0.47329512 -50.685425 27.117813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47333779-0.47329512) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dl = 271.850569999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47333779-0.47329512) × R
    4.26699999999669e-05 × 6371000     		dr = 271.850569999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88467548--0.88462755) × cos(0.47333779) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890051685281532 × 6371000     		do = 271.787989422027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88467548--0.88462755) × cos(0.47329512) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.890071136001445 × 6371000     		du = 271.793928933344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47333779)-sin(0.47329512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890051685281532-0.890071136001445)×R²
    abs(-0.88462755--0.88467548)×1.945071991305e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.945071991305e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.945071991305e-05×40589641000000     		ar = 73886.5271843503m²