Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4708 / 3476
↖ ↑ ↗
← N 26.273714°
E 26.894531°		 ← 4 381.67 m → N 26.273714°
E 26.938476°		 →
↑
4 382.42 m
↓
↑
4 382.42 m
↓
N 26.234302°
E 26.894531°		 ← 4 383.15 m →
19 205 566 m²		 N 26.234302°
E 26.938476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57476806640625 y=0.42437744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57476806640625 × 213)
    floor (0.57476806640625 × 8192)
    floor (4708.5)     		tx = 4708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42437744140625 × 213)
    floor (0.42437744140625 × 8192)
    floor (3476.5)     		ty = 3476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4708 / 3476 ti = "13/4708/3476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4708/3476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4708 ÷ 213
    4708 ÷ 8192     		x = 0.57470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3476 ÷ 213
    3476 ÷ 8192     		y = 0.42431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57470703125 × 2 - 1) × π
    0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    0.1513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46939812} λ = 0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475534044230957))-π/2
    2×atan(1.6088731775375)-π/2
    2×1.01467957161801-π/2
    2.02935914323601-1.57079632675     		φ = 0.45856282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45856282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.273714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4708 KachelY 3476 0.46939812 0.45856282 26.894531 26.273714
    Oben rechts KachelX + 1 4709 KachelY 3476 0.47016511 0.45856282 26.938476 26.273714
    Unten links KachelX 4708 KachelY + 1 3477 0.46939812 0.45787495 26.894531 26.234302
    Unten rechts KachelX + 1 4709 KachelY + 1 3477 0.47016511 0.45787495 26.938476 26.234302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45856282-0.45787495) × R
    0.000687869999999979 × 6371000     		dl = 4382.41976999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45856282-0.45787495) × R
    0.000687869999999979 × 6371000     		dr = 4382.41976999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46939812-0.47016511) × cos(0.45856282) × R
    0.000766990000000023 × 0.896689605254309 × 6371000     		do = 4381.66773928806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46939812-0.47016511) × cos(0.45787495) × R
    0.000766990000000023 × 0.896993885527208 × 6371000     		du = 4383.15460279986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45856282)-sin(0.45787495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896689605254309-0.896993885527208)×R²
    abs(0.47016511-0.46939812)×0.000304280272898971×R²
    0.000766990000000023×0.000304280272898971×6371000²
    0.000766990000000023×0.000304280272898971×40589641000000     		ar = 19205566.1135357m²