Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47079 / 55226
↖ ↑ ↗
← N 27.230211°
W 50.693665°		 ← 271.58 m → N 27.230211°
W 50.690918°		 →
↑
271.60 m
↓
↑
271.60 m
↓
N 27.227768°
W 50.693665°		 ← 271.58 m →
73 760 m²		 N 27.227768°
W 50.690918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359188079833984 y=0.421344757080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359188079833984 × 217)
    floor (0.359188079833984 × 131072)
    floor (47079.5)     		tx = 47079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421344757080078 × 217)
    floor (0.421344757080078 × 131072)
    floor (55226.5)     		ty = 55226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47079 / 55226 ti = "17/47079/55226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47079/55226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47079 ÷ 217
    47079 ÷ 131072     		x = 0.359184265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55226 ÷ 217
    55226 ÷ 131072     		y = 0.421340942382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359184265136719 × 2 - 1) × π
    -0.281631469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.88477136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421340942382812 × 2 - 1) × π
    0.157318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.494229435082779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88477136} λ = -0.88477136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.494229435082779))-π/2
    2×atan(1.63923461558175)-π/2
    2×1.02302657652121-π/2
    2.04605315304242-1.57079632675     		φ = 0.47525683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88477136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.693665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47525683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.230211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47079 KachelY 55226 -0.88477136 0.47525683 -50.693665 27.230211
    Oben rechts KachelX + 1 47080 KachelY 55226 -0.88472342 0.47525683 -50.690918 27.230211
    Unten links KachelX 47079 KachelY + 1 55227 -0.88477136 0.47521420 -50.693665 27.227768
    Unten rechts KachelX + 1 47080 KachelY + 1 55227 -0.88472342 0.47521420 -50.690918 27.227768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47525683-0.47521420) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dl = 271.595730000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47525683-0.47521420) × R
    4.26300000000435e-05 × 6371000     		dr = 271.595730000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88477136--0.88472342) × cos(0.47525683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889175234061464 × 6371000     		do = 271.577003852718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88477136--0.88472342) × cos(0.47521420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.889194739327427 × 6371000     		du = 271.582961263009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47525683)-sin(0.47521420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889175234061464-0.889194739327427)×R²
    abs(-0.88472342--0.88477136)×1.95052659638373e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95052659638373e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95052659638373e-05×40589641000000     		ar = 73759.9636274501m²