Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47064 / 55176
↖ ↑ ↗
← N 27.352253°
W 50.734863°		 ← 271.28 m → N 27.352253°
W 50.732117°		 →
↑
271.28 m
↓
↑
271.28 m
↓
N 27.349813°
W 50.734863°		 ← 271.28 m →
73 593 m²		 N 27.349813°
W 50.732117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359073638916016 y=0.420963287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359073638916016 × 217)
    floor (0.359073638916016 × 131072)
    floor (47064.5)     		tx = 47064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420963287353516 × 217)
    floor (0.420963287353516 × 131072)
    floor (55176.5)     		ty = 55176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47064 / 55176 ti = "17/47064/55176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47064/55176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47064 ÷ 217
    47064 ÷ 131072     		x = 0.35906982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55176 ÷ 217
    55176 ÷ 131072     		y = 0.42095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35906982421875 × 2 - 1) × π
    -0.2818603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88549041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42095947265625 × 2 - 1) × π
    0.1580810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.496626280063782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88549041} λ = -0.88549041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.496626280063782))-π/2
    2×atan(1.64316831919846)-π/2
    2×1.0240915991949-π/2
    2.0481831983898-1.57079632675     		φ = 0.47738687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88549041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.734863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47738687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.352253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47064 KachelY 55176 -0.88549041 0.47738687 -50.734863 27.352253
    Oben rechts KachelX + 1 47065 KachelY 55176 -0.88544247 0.47738687 -50.732117 27.352253
    Unten links KachelX 47064 KachelY + 1 55177 -0.88549041 0.47734429 -50.734863 27.349813
    Unten rechts KachelX + 1 47065 KachelY + 1 55177 -0.88544247 0.47734429 -50.732117 27.349813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47738687-0.47734429) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dl = 271.277180000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47738687-0.47734429) × R
    4.25800000000143e-05 × 6371000     		dr = 271.277180000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88549041--0.88544247) × cos(0.47738687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.888198582025159 × 6371000     		do = 271.278709181807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88549041--0.88544247) × cos(0.47734429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88821814501692 × 6371000     		du = 271.284684223042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47738687)-sin(0.47734429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888198582025159-0.88821814501692)×R²
    abs(-0.88544247--0.88549041)×1.95629917606466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95629917606466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95629917606466e-05×40589641000000     		ar = 73592.5336781408m²