Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4706 / 3550
↖ ↑ ↗
← N 80.242225°
W128.298340°		 ← 207.05 m → N 80.242225°
W128.287354°		 →
↑
207.06 m
↓
↑
207.06 m
↓
N 80.240363°
W128.298340°		 ← 207.09 m →
42 875 m²		 N 80.240363°
W128.287354°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.143630981445312 y=0.108352661132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.143630981445312 × 215)
    floor (0.143630981445312 × 32768)
    floor (4706.5)     		tx = 4706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108352661132812 × 215)
    floor (0.108352661132812 × 32768)
    floor (3550.5)     		ty = 3550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4706 / 3550 ti = "15/4706/3550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4706/3550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4706 ÷ 215
    4706 ÷ 32768     		x = 0.14361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3550 ÷ 215
    3550 ÷ 32768     		y = 0.10833740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14361572265625 × 2 - 1) × π
    -0.7127685546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.23922846
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10833740234375 × 2 - 1) × π
    0.7833251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.4608886788952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.23922846} λ = -2.23922846}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4608886788952))-π/2
    2×atan(11.7152179822767)-π/2
    2×1.48564367823582-π/2
    2.97128735647164-1.57079632675     		φ = 1.40049103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.23922846} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -128.298340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40049103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.242225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4706 KachelY 3550 -2.23922846 1.40049103 -128.298340 80.242225
    Oben rechts KachelX + 1 4707 KachelY 3550 -2.23903671 1.40049103 -128.287354 80.242225
    Unten links KachelX 4706 KachelY + 1 3551 -2.23922846 1.40045853 -128.298340 80.240363
    Unten rechts KachelX + 1 4707 KachelY + 1 3551 -2.23903671 1.40045853 -128.287354 80.240363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40049103-1.40045853) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dl = 207.057499999234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40049103-1.40045853) × R
    3.24999999998798e-05 × 6371000     		dr = 207.057499999234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.23922846--2.23903671) × cos(1.40049103) × R
    0.000191749999999935 × 0.169483237048342 × 6371000     		do = 207.047374595239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.23922846--2.23903671) × cos(1.40045853) × R
    0.000191749999999935 × 0.169515266783608 × 6371000     		du = 207.086503377006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40049103)-sin(1.40045853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169483237048342-0.169515266783608)×R²
    abs(-2.23903671--2.23922846)×3.20297352657817e-05×R²
    0.000191749999999935×3.20297352657817e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.20297352657817e-05×40589641000000     		ar = 42874.7627226242m²