Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4706 / 3488
↖ ↑ ↗
← N 71.300793°
W 76.596680°		 ← 783.31 m → N 71.300793°
W 76.574707°		 →
↑
783.51 m
↓
↑
783.51 m
↓
N 71.293747°
W 76.596680°		 ← 783.60 m →
613 843 m²		 N 71.293747°
W 76.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.287261962890625 y=0.212921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.287261962890625 × 214)
    floor (0.287261962890625 × 16384)
    floor (4706.5)     		tx = 4706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.212921142578125 × 214)
    floor (0.212921142578125 × 16384)
    floor (3488.5)     		ty = 3488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4706 / 3488 ti = "14/4706/3488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4706/3488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4706 ÷ 214
    4706 ÷ 16384     		x = 0.2872314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3488 ÷ 214
    3488 ÷ 16384     		y = 0.212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2872314453125 × 2 - 1) × π
    -0.425537109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.33686426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.212890625 × 2 - 1) × π
    0.57421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80396140650195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.33686426} λ = -1.33686426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80396140650195))-π/2
    2×atan(6.07366010773167)-π/2
    2×1.40761496122588-π/2
    2.81522992245175-1.57079632675     		φ = 1.24443360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.33686426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -76.596680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24443360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.300793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4706 KachelY 3488 -1.33686426 1.24443360 -76.596680 71.300793
    Oben rechts KachelX + 1 4707 KachelY 3488 -1.33648076 1.24443360 -76.574707 71.300793
    Unten links KachelX 4706 KachelY + 1 3489 -1.33686426 1.24431062 -76.596680 71.293747
    Unten rechts KachelX + 1 4707 KachelY + 1 3489 -1.33648076 1.24431062 -76.574707 71.293747
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24443360-1.24431062) × R
    0.000122979999999995 × 6371000     		dl = 783.505579999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24443360-1.24431062) × R
    0.000122979999999995 × 6371000     		dr = 783.505579999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.33686426--1.33648076) × cos(1.24443360) × R
    0.000383500000000092 × 0.320599878012355 × 6371000     		do = 783.314789050399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.33686426--1.33648076) × cos(1.24431062) × R
    0.000383500000000092 × 0.320716364053447 × 6371000     		du = 783.599396890148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24443360)-sin(1.24431062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320599878012355-0.320716364053447)×R²
    abs(-1.33648076--1.33686426)×0.000116486041091601×R²
    0.000383500000000092×0.000116486041091601×6371000²
    0.000383500000000092×0.000116486041091601×40589641000000     		ar = 613843.004807171m²