Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4706 / 3483
↖ ↑ ↗
← N 25.997550°
E 26.806641°		 ← 4 392.04 m → N 25.997550°
E 26.850586°		 →
↑
4 392.74 m
↓
↑
4 392.74 m
↓
N 25.958045°
E 26.806641°		 ← 4 393.52 m →
19 296 347 m²		 N 25.958045°
E 26.850586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57452392578125 y=0.42523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57452392578125 × 213)
    floor (0.57452392578125 × 8192)
    floor (4706.5)     		tx = 4706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42523193359375 × 213)
    floor (0.42523193359375 × 8192)
    floor (3483.5)     		ty = 3483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4706 / 3483 ti = "13/4706/3483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4706/3483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4706 ÷ 213
    4706 ÷ 8192     		x = 0.574462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3483 ÷ 213
    3483 ÷ 8192     		y = 0.4251708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.574462890625 × 2 - 1) × π
    0.14892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.46786414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4251708984375 × 2 - 1) × π
    0.149658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.470165111473511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46786414} λ = 0.46786414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.470165111473511))-π/2
    2×atan(1.60025839242677)-π/2
    2×1.01226958516547-π/2
    2.02453917033094-1.57079632675     		φ = 0.45374284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46786414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.806641°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45374284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.997550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4706 KachelY 3483 0.46786414 0.45374284 26.806641 25.997550
    Oben rechts KachelX + 1 4707 KachelY 3483 0.46863113 0.45374284 26.850586 25.997550
    Unten links KachelX 4706 KachelY + 1 3484 0.46786414 0.45305335 26.806641 25.958045
    Unten rechts KachelX + 1 4707 KachelY + 1 3484 0.46863113 0.45305335 26.850586 25.958045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45374284-0.45305335) × R
    0.000689489999999959 × 6371000     		dl = 4392.74078999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45374284-0.45305335) × R
    0.000689489999999959 × 6371000     		dr = 4392.74078999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46786414-0.46863113) × cos(0.45374284) × R
    0.000766990000000023 × 0.898812792646663 × 6371000     		do = 4392.04268023421m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46786414-0.46863113) × cos(0.45305335) × R
    0.000766990000000023 × 0.89911480499604 × 6371000     		du = 4393.51846155294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45374284)-sin(0.45305335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898812792646663-0.89911480499604)×R²
    abs(0.46863113-0.46786414)×0.000302012349377101×R²
    0.000766990000000023×0.000302012349377101×6371000²
    0.000766990000000023×0.000302012349377101×40589641000000     		ar = 19296347.1597334m²