Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47058 / 55277
↖ ↑ ↗
← N 27.105589°
W 50.751343°		 ← 271.88 m → N 27.105589°
W 50.748596°		 →
↑
271.85 m
↓
↑
271.85 m
↓
N 27.103144°
W 50.751343°		 ← 271.89 m →
73 912 m²		 N 27.103144°
W 50.748596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359027862548828 y=0.421733856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359027862548828 × 217)
    floor (0.359027862548828 × 131072)
    floor (47058.5)     		tx = 47058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421733856201172 × 217)
    floor (0.421733856201172 × 131072)
    floor (55277.5)     		ty = 55277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47058 / 55277 ti = "17/47058/55277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47058/55277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47058 ÷ 217
    47058 ÷ 131072     		x = 0.359024047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55277 ÷ 217
    55277 ÷ 131072     		y = 0.421730041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359024047851562 × 2 - 1) × π
    -0.281951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.88577803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421730041503906 × 2 - 1) × π
    0.156539916992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.491784653202156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88577803} λ = -0.88577803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.491784653202156))-π/2
    2×atan(1.63523193932433)-π/2
    2×1.02193904945716-π/2
    2.04387809891432-1.57079632675     		φ = 0.47308177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88577803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.751343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47308177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.105589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47058 KachelY 55277 -0.88577803 0.47308177 -50.751343 27.105589
    Oben rechts KachelX + 1 47059 KachelY 55277 -0.88573009 0.47308177 -50.748596 27.105589
    Unten links KachelX 47058 KachelY + 1 55278 -0.88577803 0.47303910 -50.751343 27.103144
    Unten rechts KachelX + 1 47059 KachelY + 1 55278 -0.88573009 0.47303910 -50.748596 27.103144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47308177-0.47303910) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dl = 271.850570000143m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47308177-0.47303910) × R
    4.26700000000224e-05 × 6371000     		dr = 271.850570000143m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88577803--0.88573009) × cos(0.47308177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890168365291629 × 6371000     		do = 271.880331693608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88577803--0.88573009) × cos(0.47303910) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.890187806287542 × 6371000     		du = 271.886269474171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47308177)-sin(0.47303910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890168365291629-0.890187806287542)×R²
    abs(-0.88573009--0.88577803)×1.94409959125563e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94409959125563e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94409959125563e-05×40589641000000     		ar = 73911.6302484108m²