Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4705 / 4894
↖ ↑ ↗
← S 33.063924°
E 26.762695°		 ← 4 095.19 m → S 33.063924°
E 26.806641°		 →
↑
4 094.32 m
↓
↑
4 094.32 m
↓
S 33.100745°
E 26.762695°		 ← 4 093.47 m →
16 763 508 m²		 S 33.100745°
E 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57440185546875 y=0.59747314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57440185546875 × 213)
    floor (0.57440185546875 × 8192)
    floor (4705.5)     		tx = 4705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59747314453125 × 213)
    floor (0.59747314453125 × 8192)
    floor (4894.5)     		ty = 4894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4705 / 4894 ti = "13/4705/4894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4705/4894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4705 ÷ 213
    4705 ÷ 8192     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4894 ÷ 213
    4894 ÷ 8192     		y = 0.597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597412109375 × 2 - 1) × π
    -0.19482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.612058334348877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.612058334348877))-π/2
    2×atan(0.542233621546131)-π/2
    2×0.496860992961263-π/2
    0.993721985922527-1.57079632675     		φ = -0.57707434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57707434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.063924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4705 KachelY 4894 0.46709715 -0.57707434 26.762695 -33.063924
    Oben rechts KachelX + 1 4706 KachelY 4894 0.46786414 -0.57707434 26.806641 -33.063924
    Unten links KachelX 4705 KachelY + 1 4895 0.46709715 -0.57771699 26.762695 -33.100745
    Unten rechts KachelX + 1 4706 KachelY + 1 4895 0.46786414 -0.57771699 26.806641 -33.100745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57707434--0.57771699) × R
    0.000642649999999967 × 6371000     		dl = 4094.32314999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57707434--0.57771699) × R
    0.000642649999999967 × 6371000     		dr = 4094.32314999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46786414) × cos(-0.57707434) × R
    0.000766989999999967 × 0.83806239949602 × 6371000     		do = 4095.18629173843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46786414) × cos(-0.57771699) × R
    0.000766989999999967 × 0.837711613079229 × 6371000     		du = 4093.47217626656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57707434)-sin(-0.57771699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83806239949602-0.837711613079229)×R²
    abs(0.46786414-0.46709715)×0.000350786416791093×R²
    0.000766989999999967×0.000350786416791093×6371000²
    0.000766989999999967×0.000350786416791093×40589641000000     		ar = 16763507.5434372m²