Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4705 / 3481
↖ ↑ ↗
← N 26.076520°
E 26.762695°		 ← 4 389.09 m → N 26.076520°
E 26.806641°		 →
↑
4 389.81 m
↓
↑
4 389.81 m
↓
N 26.037042°
E 26.762695°		 ← 4 390.57 m →
19 270 503 m²		 N 26.037042°
E 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.57440185546875 y=0.42498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.57440185546875 × 213)
    floor (0.57440185546875 × 8192)
    floor (4705.5)     		tx = 4705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42498779296875 × 213)
    floor (0.42498779296875 × 8192)
    floor (3481.5)     		ty = 3481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4705 / 3481 ti = "13/4705/3481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4705/3481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4705 ÷ 213
    4705 ÷ 8192     		x = 0.5743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3481 ÷ 213
    3481 ÷ 8192     		y = 0.4249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5743408203125 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.46709715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4249267578125 × 2 - 1) × π
    0.150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.471699092261353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.46709715} λ = 0.46709715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.471699092261353))-π/2
    2×atan(1.60271504180108)-π/2
    2×1.01295873400814-π/2
    2.02591746801629-1.57079632675     		φ = 0.45512114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.46709715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 26.762695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45512114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.076520°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4705 KachelY 3481 0.46709715 0.45512114 26.762695 26.076520
    Oben rechts KachelX + 1 4706 KachelY 3481 0.46786414 0.45512114 26.806641 26.076520
    Unten links KachelX 4705 KachelY + 1 3482 0.46709715 0.45443211 26.762695 26.037042
    Unten rechts KachelX + 1 4706 KachelY + 1 3482 0.46786414 0.45443211 26.806641 26.037042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45512114-0.45443211) × R
    0.000689029999999979 × 6371000     		dl = 4389.81012999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45512114-0.45443211) × R
    0.000689029999999979 × 6371000     		dr = 4389.81012999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.46709715-0.46786414) × cos(0.45512114) × R
    0.000766989999999967 × 0.898207785123052 × 6371000     		do = 4389.08631502937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.46709715-0.46786414) × cos(0.45443211) × R
    0.000766989999999967 × 0.898510449574373 × 6371000     		du = 4390.56528283987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45512114)-sin(0.45443211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898207785123052-0.898510449574373)×R²
    abs(0.46786414-0.46709715)×0.000302664451321322×R²
    0.000766989999999967×0.000302664451321322×6371000²
    0.000766989999999967×0.000302664451321322×40589641000000     		ar = 19270502.5235066m²