Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47047 / 55370
↖ ↑ ↗
← N 26.877981°
W 50.781555°		 ← 272.43 m → N 26.877981°
W 50.778809°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 26.875531°
W 50.781555°		 ← 272.44 m →
74 218 m²		 N 26.875531°
W 50.778809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358943939208984 y=0.422443389892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358943939208984 × 217)
    floor (0.358943939208984 × 131072)
    floor (47047.5)     		tx = 47047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422443389892578 × 217)
    floor (0.422443389892578 × 131072)
    floor (55370.5)     		ty = 55370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47047 / 55370 ti = "17/47047/55370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47047/55370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47047 ÷ 217
    47047 ÷ 131072     		x = 0.358940124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55370 ÷ 217
    55370 ÷ 131072     		y = 0.422439575195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358940124511719 × 2 - 1) × π
    -0.282119750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.88630534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422439575195312 × 2 - 1) × π
    0.155120849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.487326521537491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88630534} λ = -0.88630534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487326521537491))-π/2
    2×atan(1.62795808598179)-π/2
    2×1.01995279416365-π/2
    2.03990558832731-1.57079632675     		φ = 0.46910926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88630534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.781555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46910926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.877981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47047 KachelY 55370 -0.88630534 0.46910926 -50.781555 26.877981
    Oben rechts KachelX + 1 47048 KachelY 55370 -0.88625740 0.46910926 -50.778809 26.877981
    Unten links KachelX 47047 KachelY + 1 55371 -0.88630534 0.46906650 -50.781555 26.875531
    Unten rechts KachelX + 1 47048 KachelY + 1 55371 -0.88625740 0.46906650 -50.778809 26.875531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46910926-0.46906650) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46910926-0.46906650) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88630534--0.88625740) × cos(0.46910926) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891971338378795 × 6371000     		do = 272.431006083586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88630534--0.88625740) × cos(0.46906650) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.891990669015135 × 6371000     		du = 272.436910157495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46910926)-sin(0.46906650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891971338378795-0.891990669015135)×R²
    abs(-0.88625740--0.88630534)×1.93306363401868e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.93306363401868e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.93306363401868e-05×40589641000000     		ar = 74217.5377209475m²