Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47047 / 55255
↖ ↑ ↗
← N 27.159364°
W 50.781555°		 ← 271.75 m → N 27.159364°
W 50.778809°		 →
↑
271.72 m
↓
↑
271.72 m
↓
N 27.156921°
W 50.781555°		 ← 271.76 m →
73 841 m²		 N 27.156921°
W 50.778809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358943939208984 y=0.421566009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358943939208984 × 217)
    floor (0.358943939208984 × 131072)
    floor (47047.5)     		tx = 47047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421566009521484 × 217)
    floor (0.421566009521484 × 131072)
    floor (55255.5)     		ty = 55255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47047 / 55255 ti = "17/47047/55255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47047/55255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47047 ÷ 217
    47047 ÷ 131072     		x = 0.358940124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55255 ÷ 217
    55255 ÷ 131072     		y = 0.421562194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358940124511719 × 2 - 1) × π
    -0.282119750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.88630534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421562194824219 × 2 - 1) × π
    0.156875610351562 × 3.1415926535     		Φ = 0.492839264993797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88630534} λ = -0.88630534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.492839264993797))-π/2
    2×atan(1.63695738388678)-π/2
    2×1.02240832765848-π/2
    2.04481665531696-1.57079632675     		φ = 0.47402033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88630534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.781555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47402033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.159364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47047 KachelY 55255 -0.88630534 0.47402033 -50.781555 27.159364
    Oben rechts KachelX + 1 47048 KachelY 55255 -0.88625740 0.47402033 -50.778809 27.159364
    Unten links KachelX 47047 KachelY + 1 55256 -0.88630534 0.47397768 -50.781555 27.156921
    Unten rechts KachelX + 1 47048 KachelY + 1 55256 -0.88625740 0.47397768 -50.778809 27.156921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47402033-0.47397768) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dl = 271.723149999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47402033-0.47397768) × R
    4.26499999999774e-05 × 6371000     		dr = 271.723149999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88630534--0.88625740) × cos(0.47402033) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889740335557266 × 6371000     		do = 271.749600395877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88630534--0.88625740) × cos(0.47397768) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.889759803066198 × 6371000     		du = 271.755546274199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47402033)-sin(0.47397768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.889740335557266-0.889759803066198)×R²
    abs(-0.88625740--0.88630534)×1.94675089316698e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.94675089316698e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.94675089316698e-05×40589641000000     		ar = 73841.4652584099m²