Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47046 / 55622
↖ ↑ ↗
← N 26.258936°
W 50.784302°		 ← 273.85 m → N 26.258936°
W 50.781555°		 →
↑
273.89 m
↓
↑
273.89 m
↓
N 26.256473°
W 50.784302°		 ← 273.86 m →
75 005 m²		 N 26.256473°
W 50.781555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358936309814453 y=0.424365997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358936309814453 × 217)
    floor (0.358936309814453 × 131072)
    floor (47046.5)     		tx = 47046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424365997314453 × 217)
    floor (0.424365997314453 × 131072)
    floor (55622.5)     		ty = 55622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47046 / 55622 ti = "17/47046/55622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47046/55622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47046 ÷ 217
    47046 ÷ 131072     		x = 0.358932495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55622 ÷ 217
    55622 ÷ 131072     		y = 0.424362182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358932495117188 × 2 - 1) × π
    -0.282135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88635327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424362182617188 × 2 - 1) × π
    0.151275634765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.475246422833237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88635327} λ = -0.88635327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.475246422833237))-π/2
    2×atan(1.60841049772692)-π/2
    2×1.01455060985098-π/2
    2.02910121970197-1.57079632675     		φ = 0.45830489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88635327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.784302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45830489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.258936°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47046 KachelY 55622 -0.88635327 0.45830489 -50.784302 26.258936
    Oben rechts KachelX + 1 47047 KachelY 55622 -0.88630534 0.45830489 -50.781555 26.258936
    Unten links KachelX 47046 KachelY + 1 55623 -0.88635327 0.45826190 -50.784302 26.256473
    Unten rechts KachelX + 1 47047 KachelY + 1 55623 -0.88630534 0.45826190 -50.781555 26.256473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45830489-0.45826190) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dl = 273.889290000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45830489-0.45826190) × R
    4.29900000000205e-05 × 6371000     		dr = 273.889290000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88635327--0.88630534) × cos(0.45830489) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.896803750683352 × 6371000     		do = 273.849813819816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88635327--0.88630534) × cos(0.45826190) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.896822769858531 × 6371000     		du = 273.855621553757m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45830489)-sin(0.45826190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896803750683352-0.896822769858531)×R²
    abs(-0.88630534--0.88635327)×1.90191751789914e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.90191751789914e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.90191751789914e-05×40589641000000     		ar = 75005.3264234596m²