Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 47044 / 56204
↖ ↑ ↗
← N 24.816653°
W 50.789795°		 ← 277.22 m → N 24.816653°
W 50.787048°		 →
↑
277.20 m
↓
↑
277.20 m
↓
N 24.814160°
W 50.789795°		 ← 277.23 m →
76 847 m²		 N 24.814160°
W 50.787048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358921051025391 y=0.428806304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358921051025391 × 217)
    floor (0.358921051025391 × 131072)
    floor (47044.5)     		tx = 47044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428806304931641 × 217)
    floor (0.428806304931641 × 131072)
    floor (56204.5)     		ty = 56204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47044 / 56204 ti = "17/47044/56204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47044/56204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47044 ÷ 217
    47044 ÷ 131072     		x = 0.358917236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56204 ÷ 217
    56204 ÷ 131072     		y = 0.428802490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358917236328125 × 2 - 1) × π
    -0.28216552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88644915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428802490234375 × 2 - 1) × π
    0.14239501953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.447347147254364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88644915} λ = -0.88644915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.447347147254364))-π/2
    2×atan(1.56415719792473)-π/2
    2×1.00196432033523-π/2
    2.00392864067045-1.57079632675     		φ = 0.43313231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88644915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.789795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43313231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.816653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47044 KachelY 56204 -0.88644915 0.43313231 -50.789795 24.816653
    Oben rechts KachelX + 1 47045 KachelY 56204 -0.88640121 0.43313231 -50.787048 24.816653
    Unten links KachelX 47044 KachelY + 1 56205 -0.88644915 0.43308880 -50.789795 24.814160
    Unten rechts KachelX + 1 47045 KachelY + 1 56205 -0.88640121 0.43308880 -50.787048 24.814160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43313231-0.43308880) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dl = 277.202210000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43313231-0.43308880) × R
    4.35100000000244e-05 × 6371000     		dr = 277.202210000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88644915--0.88640121) × cos(0.43313231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907655524132805 × 6371000     		do = 277.221360123168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88644915--0.88640121) × cos(0.43308880) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.907673785113121 × 6371000     		du = 277.226937496594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43313231)-sin(0.43308880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907655524132805-0.907673785113121)×R²
    abs(-0.88640121--0.88644915)×1.82609803160982e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.82609803160982e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.82609803160982e-05×40589641000000     		ar = 76847.146727705m²