Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47041 / 55490
↖ ↑ ↗
← N 26.583615°
W 50.798035°		 ← 273.14 m → N 26.583615°
W 50.795288°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
N 26.581159°
W 50.798035°		 ← 273.14 m →
74 601 m²		 N 26.581159°
W 50.795288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358898162841797 y=0.423358917236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358898162841797 × 217)
    floor (0.358898162841797 × 131072)
    floor (47041.5)     		tx = 47041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423358917236328 × 217)
    floor (0.423358917236328 × 131072)
    floor (55490.5)     		ty = 55490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47041 / 55490 ti = "17/47041/55490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47041/55490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47041 ÷ 217
    47041 ÷ 131072     		x = 0.358894348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55490 ÷ 217
    55490 ÷ 131072     		y = 0.423355102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.358894348144531 × 2 - 1) × π
    -0.282211303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.88659296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423355102539062 × 2 - 1) × π
    0.153289794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.481574093583084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88659296} λ = -0.88659296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481574093583084))-π/2
    2×atan(1.61862025772093)-π/2
    2×1.0173839661808-π/2
    2.0347679323616-1.57079632675     		φ = 0.46397161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88659296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.798035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46397161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.583615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47041 KachelY 55490 -0.88659296 0.46397161 -50.798035 26.583615
    Oben rechts KachelX + 1 47042 KachelY 55490 -0.88654502 0.46397161 -50.795288 26.583615
    Unten links KachelX 47041 KachelY + 1 55491 -0.88659296 0.46392874 -50.798035 26.581159
    Unten rechts KachelX + 1 47042 KachelY + 1 55491 -0.88654502 0.46392874 -50.795288 26.581159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46397161-0.46392874) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46397161-0.46392874) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88659296--0.88654502) × cos(0.46397161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894282246403672 × 6371000     		do = 273.136816876525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88659296--0.88654502) × cos(0.46392874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894301430051251 × 6371000     		du = 273.142676056283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46397161)-sin(0.46392874))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894282246403672-0.894301430051251)×R²
    abs(-0.88654502--0.88659296)×1.91836475789131e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91836475789131e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91836475789131e-05×40589641000000     		ar = 74601.23044288m²