Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 47040 / 55488
↖ ↑ ↗
← N 26.588527°
W 50.800782°		 ← 273.13 m → N 26.588527°
W 50.798035°		 →
↑
273.12 m
↓
↑
273.12 m
↓
N 26.586071°
W 50.800782°		 ← 273.13 m →
74 598 m²		 N 26.586071°
W 50.798035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 47040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.358890533447266 y=0.423343658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.358890533447266 × 217)
    floor (0.358890533447266 × 131072)
    floor (47040.5)     		tx = 47040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423343658447266 × 217)
    floor (0.423343658447266 × 131072)
    floor (55488.5)     		ty = 55488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 47040 / 55488 ti = "17/47040/55488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/47040/55488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 47040 ÷ 217
    47040 ÷ 131072     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55488 ÷ 217
    55488 ÷ 131072     		y = 0.42333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42333984375 × 2 - 1) × π
    0.1533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.481669967382324
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.481669967382324))-π/2
    2×atan(1.6187754484338)-π/2
    2×1.01742683437951-π/2
    2.03485366875902-1.57079632675     		φ = 0.46405734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46405734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.588527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 47040 KachelY 55488 -0.88664090 0.46405734 -50.800782 26.588527
    Oben rechts KachelX + 1 47041 KachelY 55488 -0.88659296 0.46405734 -50.798035 26.588527
    Unten links KachelX 47040 KachelY + 1 55489 -0.88664090 0.46401447 -50.800782 26.586071
    Unten rechts KachelX + 1 47041 KachelY + 1 55489 -0.88659296 0.46401447 -50.798035 26.586071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46405734-0.46401447) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dl = 273.124769999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46405734-0.46401447) × R
    4.28699999999727e-05 × 6371000     		dr = 273.124769999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88659296) × cos(0.46405734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894243878653715 × 6371000     		do = 273.125098378102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88659296) × cos(0.46401447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894263065587966 × 6371000     		du = 273.130958561694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46405734)-sin(0.46401447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894243878653715-0.894263065587966)×R²
    abs(-0.88659296--0.88664090)×1.91869342501816e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91869342501816e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91869342501816e-05×40589641000000     		ar = 74598.0299677639m²